《2025年多维互动提优课堂八年级数学上册苏科版提升版》

18. (本题满分6分)如图,在△ABC中,AB= AC,AM是边BC上的中线,点N在AM上,连接NB,NC,求证:NB= NC.

答案： 【解析】：
本题可根据等腰三角形的性质得到相关线段和角的关系，再通过全等三角形的判定定理证明$\triangle BNM$和$\triangle CNM$全等，进而证明$NB = NC$。
步骤一：根据等腰三角形的性质得到相关线段和角的关系
已知在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$AM$是边$BC$上的中线。
根据等腰三角形三线合一的性质（等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合），可得$AM$垂直平分$BC$，即$BM = CM$，$\angle BMN = \angle CMN = 90^{\circ}$。
步骤二：证明$\triangle BNM$和$\triangle CNM$全等
在$\triangle BNM$和$\triangle CNM$中：
$BM = CM$（已证）
$\angle BMN = \angle CMN$（已证）
$NM = NM$（公共边）
根据全等三角形的判定定理（$SAS$：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle BNM\cong\triangle CNM$。
步骤三：根据全等三角形的性质证明$NB = NC$
因为全等三角形的对应边相等，$\triangle BNM\cong\triangle CNM$，所以$NB = NC$。
【答案】：
证明：
∵$AB = AC$，$AM$是边$BC$上的中线，
∴$AM$垂直平分$BC$（等腰三角形三线合一），
∴$BM = CM$，$\angle BMN = \angle CMN = 90^{\circ}$。
在$\triangle BNM$和$\triangle CNM$中，
$\begin{cases}BM = CM\\\angle BMN = \angle CMN\\NM = NM\end{cases}$
∴$\triangle BNM\cong\triangle CNM(SAS)$，
∴$NB = NC$（全等三角形的对应边相等）。

19. (本题满分6分)如图,在△ABC中,D为AB上一点,E为AC的中点,连接DE并延长至点F,使得EF= ED,连接CF.
(1)求证:CF//AB.
(2)若∠ABC= 50°,连接BE,BE平分∠ABC,AC平分∠BCF,求∠A的度数.

答案：
(1)证明：
∵E为AC的中点，
∴AE=CE。在△AED和△CEF中，
∵AE=CE，∠AED=∠CEF，ED=EF，
∴△AED≌△CEF(SAS)。
∴∠A=∠ECF。
∴CF//AB。
(2)解：
∵BE平分∠ABC，∠ABC=50°，
∴∠ABE=∠EBC=25°。
∵CF//AB，
∴∠ABC+∠BCF=180°。
∴∠BCF=180°-50°=130°。
∵AC平分∠BCF，
∴∠ACB=∠ACF=65°。
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠A=180°-50°-65°=65°。

20. (本题满分8分)如图,AD,AE分别是△ABC的高和中线,AB= 6,AC= 8,BC= 10,∠CAB= 90°.求:
(1)△ACE和△ABE的周长的差.
(2)AD的长.
(3)△ABE的面积.

答案：
(1)解：
∵AE是△ABC的中线，BC=10，
∴BE=CE=5，
△ACE的周长=AC+CE+AE，△ABE的周长=AB+BE+AE，
则△ACE和△ABE的周长的差=（AC+CE+AE）-（AB+BE+AE）=AC-AB，
∵AB=6，AC=8，
∴△ACE和△ABE的周长的差=8-6=2；
(2)解：
∵∠CAB=90°，AD是△ABC的高，
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$AB·AC=$\frac{1}{2}$BC·AD，
即$\frac{1}{2}$×6×8=$\frac{1}{2}$×10×AD，
解得AD=4.8；
(3)解：
∵AE是△ABC的中线，
∴△ABE的面积=$\frac{1}{2}$S△ABC，
∵S△ABC=$\frac{1}{2}$×6×8=24，
∴△ABE的面积=$\frac{1}{2}$×24=12．