《2025年同步练习册北京师范大学出版社八年级数学上册北师大版》

10. 李大伯家养鸡、鸭、鹅三种家禽,所养的鸡和鸭的只数和比鹅的只数多$19$,养鸭和鹅共$20$只,养鸡和鹅共$23$只,请你算一算李大伯家养鸡、鸭、鹅各多少只。

答案： 设鸡、鸭、鹅的只数分别为$x$、$y$、$z$。
根据题意，列出以下方程组：
$\begin{cases}x + y = z + 19, \quad (1) \\y + z = 20, \quad (2) \\x + z = 23. \quad (3)\end{cases}$
从
(3)式中减去
(2)式，得到：
$x - y = 3 \quad (4)$，
将
(4)式变形为$x = y + 3$，代入
(1)式中得到：
$y + 3 + y = z + 19$，
$2y = z + 16$，
$z = 2y - 16 \quad (5)$，
将
(5)式代入
(2)式中得到：
$y + 2y - 16 = 20$，
$3y = 36$，
$y = 12$。
将$y = 12$代入
(5)式得到：
$z = 2 × 12 - 16 = 8$。
将$y = 12$代入$x = y + 3$得到：
$x = 15$。
所以，方程组的解为：
$\begin{cases}x = 15, \\y = 12, \\z =8.\end{cases}$
答：李大伯家养鸡15只、鸭12只、鹅8只。

11. 【数学应用】为进一步打造宜居城市,某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉,要求音乐喷泉$P到广场的两个入口A$,$B$的距离相等,且到广场管理处$C的距离等于A和B$之间的距离的一半,$A$,$B$,$C$的位置如图所示。请利用尺规作出音乐喷泉$P$的位置。并说明理由。

答案： 作法：
1. 连接线段AB。
2. 分别以A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，即为AB的垂直平分线$l$。
3. 作线段AB的中点M（AB与垂直平分线$l$的交点），则$AM = \frac{1}{2}AB$。
4. 以点C为圆心，AM长为半径画圆。
5. 该圆与垂直平分线$l$在矩形广场内部的交点即为点P。
理由：
点P在AB的垂直平分线$l$上，由垂直平分线性质得$PA = PB$。
点P在以C为圆心、AM为半径的圆上，故$PC = AM = \frac{1}{2}AB$。
点P位于矩形内部，满足题意。