《2025年同步练习册北京师范大学出版社八年级数学上册北师大版》

13. 实数$m$在数轴上的对应点的位置如图所示,则化简$|m - 1| + \sqrt{m^2}的结果为\underline{\hspace{5cm}}$。
]

1

答案： 1

14. 计算：
(1)$\sqrt{50} + \sqrt{8}$;
(2)$\sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt{27}$;
(3)$(\sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{3}) × \sqrt{6}$;
(4)$(\sqrt{\frac{3}{2}} - \sqrt{\frac{2}{3}}) × \sqrt{6}$。

答案：
(1) $\sqrt{50} + \sqrt{8} = 5\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 7\sqrt{2}$
(2) $\sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt{27} = \frac{\sqrt{3}}{3} - 3\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{9\sqrt{3}}{3} = -\frac{8\sqrt{3}}{3}$
(3) $(\sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{3}) × \sqrt{6} = \sqrt{\frac{1}{3}×6} + \sqrt{3×6} = \sqrt{2} + \sqrt{18} = \sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$
(4) $(\sqrt{\frac{3}{2}} - \sqrt{\frac{2}{3}}) × \sqrt{6} = \sqrt{\frac{3}{2}×6} - \sqrt{\frac{2}{3}×6} = \sqrt{9} - \sqrt{4} = 3 - 2 = 1$

15.【数学应用】爱动脑筋的小明在做二次根式的化简时,发现一些二次根式的被开方数是二次三项式,而且这些二次三项式正好是完全平方式的结构,于是就可以利用二次根式的性质：$\sqrt{a^2} = \begin{cases} a (a \geq 0) \\ -a (a ＜ 0) \end{cases} $来进一步化简。
比如：$\sqrt{x^2 + 2x + 1} = \sqrt{(x + 1)^2} = |x + 1|$,所以当$x + 1 \geq 0$,即$x \geq -1$时,原式$= x + 1$；当$x + 1 ＜ 0$,即$x ＜ -1$时,原式$= -x - 1$。
(1)仿照上面的例子,请你尝试化简$\sqrt{m^2 - m + \frac{1}{4}}$。
(2)判断甲、乙两人在解决问题“若$a = 9$,求$a + \sqrt{1 - 2a + a^2}$的值”时谁的答案正确,并说明理由。
甲的答案：原式$= a + \sqrt{(1 - a)^2} = a + (1 - a) = 1$；
乙的答案：原式$= a + \sqrt{(1 - a)^2} = a + (a - 1) = 2a - 1 = 2 × 9 - 1 = 17$。
(3)化简并求值：$|x - 1| + \sqrt{4 - 4x + x^2}$,其中$x = \sqrt{5}$。

答案：
(1)
$\sqrt{m^2 - m + \frac{1}{4}}=\sqrt{(m - \frac{1}{2})^2}=\vert m - \frac{1}{2}\vert$
当$m-\frac{1}{2}\geq0$，即$m\geq\frac{1}{2}$时，原式$ = m - \frac{1}{2}$；
当$m - \frac{1}{2}\lt0$，即$m\lt\frac{1}{2}$时，原式$=-\left(m - \frac{1}{2}\right)= -m+\frac{1}{2}$。
(2)
乙的答案正确。
理由：
$a + \sqrt{1 - 2a + a^2}=a+\sqrt{(1 - a)^2}$
当$a = 9$时，$1-a=1 - 9=-8\lt0$，根据$\sqrt{a^2}=\begin{cases}a(a\geq0)\\-a(a\lt0)\end{cases}$，则$\sqrt{(1 - a)^2}=a - 1$。
所以原式$=a+(a - 1)=2a - 1$，把$a = 9$代入得$2×9-1 = 17$，甲没有考虑$1 - a$的正负性，所以甲错误，乙正确。
(3)
$\vert x - 1\vert+\sqrt{4 - 4x + x^2}=\vert x - 1\vert+\sqrt{(2 - x)^2}$
当$x=\sqrt{5}$时，$\sqrt{5}\gt2$，$\sqrt{5}\gt1$，则$x - 1\gt0$，$2 - x\lt0$。
所以$\vert x - 1\vert=x - 1$，$\sqrt{(2 - x)^2}=x - 2$。
原式$=(x - 1)+(x - 2)=2x - 3$
把$x = \sqrt{5}$代入得$2\sqrt{5}-3$。