《2025年同步练习册北京师范大学出版社八年级数学上册北师大版》

10. 如图,在同一平面直角坐标系中,一次函数 $ y = k_1x $,$ y = k_2x $,$ y = k_3x $,$ y = k_4x $ 的图象分别为直线 $ l_1 $,$ l_2 $,$ l_3 $,$ l_4 $,则下列关系正确的是(C)。

A.$ k_1 ＜ k_2 ＜ k_3 ＜ k_4 $
B.$ k_2 ＜ k_1 ＜ k_4 ＜ k_3 $
C.$ k_1 ＜ k_2 ＜ k_4 ＜ k_3 $
D.$ k_2 ＜ k_1 ＜ k_3 ＜ k_4 $

答案： C

11. 如图,已知直线 $ l:y = 2x $,分别过 $ x $ 轴上的点 $ A_1(1,0) $,$ A_2(2,0) $,…,$ A_n(n,0) $ 作垂直于 $ x $ 轴的直线交 $ l $ 于点 $ B_1 $,$ B_2 $,…,$ B_n $,将 $ \triangle OA_1B_1 $、四边形 $ A_1A_2B_2B_1 $、…、四边形 $ A_{n - 1}A_nB_nB_{n - 1} $ 的面积依次记为 $ S_1 $,$ S_2 $,…,$ S_n $,则 $ S_n $ 等于(D)。

A.$ n^2 $
B.$ 2n + 1 $
C.$ 2n $
D.$ 2n - 1 $

答案： D

12. (1) 点 $ P $ 的坐标为 $ (x,y) $,若 $ x = y $,则点 $ P $ 在坐标平面内的位置是第一、三象限角平分线上；若 $ x + y = 0 $,则点 $ P $ 在坐标平面内的位置是第二、四象限角平分线上。
(2) 已知点 $ Q $ 的坐标为 $ (2 - 2a,a + 8) $,且点 $ Q $ 到两坐标轴的距离相等,则点 $ Q $ 的坐标为$(6,6)$ 或 $(-18,18)$。

答案：
(1)
若 $x = y$，在坐标平面内，满足横、纵坐标相等的点在第一、三象限角平分线上，所以点 $P$ 在第一、三象限角平分线上。
若 $x + y = 0$，即 $y=-x$，在坐标平面内，满足 $y = -x$ 的点在第二、四象限角平分线上，所以点 $P$ 在第二、四象限角平分线上。
(2)
因为点 $Q$ 到两坐标轴的距离相等，所以 $\vert2 - 2a\vert=\vert a + 8\vert$。
则有 $2 - 2a = a + 8$ 或 $2 - 2a=-(a + 8)$。
当 $2 - 2a = a + 8$ 时，
移项可得 $-2a - a=8 - 2$，
即 $-3a = 6$，
解得 $a=-2$。
此时 $2-2a=2-2×(-2)=2 + 4 = 6$，$a + 8=-2 + 8 = 6$，点 $Q$ 的坐标为 $(6,6)$。
当 $2 - 2a=-(a + 8)$ 时，
去括号得 $2 - 2a=-a - 8$，
移项可得 $-2a + a=-8 - 2$，
即 $-a=-10$，
解得 $a = 10$。
此时 $2-2a=2-2×10=2 - 20=-18$，$a + 8=10 + 8 = 18$，点 $Q$ 的坐标为 $(-18,18)$。
综上，答案依次为：
(1) 第一、三象限角平分线上；第二、四象限角平分线上；
(2) $(6,6)$ 或 $(-18,18)$。

13. 如图所示的是甲、乙两人在一次赛跑中路程 $ y(m) $ 与时间 $ x(s) $ 之间的关系,看图回答下列问题：
(1) 这是一次多少米的赛跑？
(2) 谁先到达终点？
(3) 乙在这次赛跑中的速度是多少？
(4) 分别求甲、乙两人的路程与时间之间的关系式。

答案：
(1) 由图像可知，赛跑的距离为 $100$ 米。
(2) 甲在 $12$ 秒到达终点，乙在 $12.5$ 秒到达终点，因此甲先到达终点。
(3) 乙的速度 $v = \frac{s}{t} = \frac{100}{12.5} = 8 \, m/s$。
(4) 甲的关系式：
设甲的路程与时间的关系为 $y = k_1 x$，
由图可知，当 $x = 12$ 时，$y = 100$，
所以 $k_1 = \frac{100}{12} = \frac{25}{3}$，
因此甲的关系式为 $y = \frac{25}{3}x$。
乙的关系式：
设乙的路程与时间的关系为 $y = k_2 x$，
由图可知，当 $x = 12.5$ 时，$y = 100$，
所以 $k_2 = \frac{100}{12.5} = 8$，
因此乙的关系式为 $y = 8x$。

14. 【综合与实践】某班数学兴趣小组对函数 $ y = |x| $ 的图象和性质进行了探究,过程如下,请补充完整。
(1) 自变量 $ x $ 的取值范围是全体实数,$ x $ 与 $ y $ 的几组对应值列表如下：

| $ x $ | …$$ | $ -3 $ | $ -2 $ | $ -1 $ | $ 0 $ | $ 1 $ | $ 2 $ | $ 3 $ | $ 4 $ | $ 5 $ | …$$ |
| $ y $ | …$$ | $ 3 $ | $ m $ | $ 1 $ | $ 0 $ | $ 1 $ | $ 2 $ | $ 3 $ | $ 4 $ | $ 5 $ | …$$ |
其中,$ m = $2。
(2) 根据上表的数据,小组成员在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出了函数图象的一部分,请你画出该函数图象的另一部分。

如图所示（补充画出第一象限内过点(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)的射线）
(3) 观察图象,写出该函数的一条性质：函数图象关于y轴对称（或：当x≥0时，y随x的增大而增大；当x≤0时，y随x的增大而减小；函数的最小值为0等，写出一条即可）。

答案：
(1) 2
(2) 如图所示（补充画出第一象限内过点(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)的射线）
(3) 函数图象关于y轴对称（或：当x≥0时，y随x的增大而增大；当x≤0时，y随x的增大而减小；函数的最小值为0等，写出一条即可）
说明：
(1) 当x=-2时，y=|x|=|-2|=2，故m=2。
(2) 根据表格中x≥0时的点(1,1),(2,2),...描点连线，形成第一象限的射线。
(3) 函数y=|x|的基本性质包括对称性、增减性、最值等，任写一条符合要求即可。
（注：第
(2)题需在给定坐标系中完成画图，此处文字描述画图过程。）