《2025年同步练习册北京师范大学出版社八年级数学上册北师大版》

1. 平方根：一般地,如果一个数 $ x $ 的平方等于 $ a $,即 $ x^{2}= a $,那么这个数x就叫作a的平方根(也叫作二次方根)。

答案： x；a

2. 求一个数 $ a $ 的平方根的运算,叫作开平方,$ a $ 叫作被开方数。

答案： 平方根；被开方数

3. 一个正数有两个平方根；$ 0 $ 只有一个平方根,是 $ 0 $ 本身；负数没有平方根。

答案： 两；没有

4. 正数 $ a $ 有两个平方根,一个是 $ a $ 的算术平方根 $ \sqrt{a} $,另一个是 $ -\sqrt{a} $,它们互为相反数,这两个平方根合起来可以记作$\pm\sqrt{a}$,读作正负根号$a$。

答案： 相反数，$\pm\sqrt{a}$，正负根号$a$

1. $ 4 $ 的平方根是(C)。

A.$ 2 $
B.$ -2 $
C.$ \pm 2 $
D.$ 16 $

答案： C

2. 已知 $ a $ 的一个平方根是 $ 4 $,则 $ a $ 的另一个平方根是(D)。
A.$ -2 $
B.$ 2 $
C.$ \pm 2 $
D.$ -4 $

答案： D

3. 如果一个数的平方根是它本身,那么这个数是(A)。
A.$ 0 $
B.$ 1 $
C.$ \pm 1 $
D.$ 0 $,$ 1 $

答案： A

4. 下列各式中,正确的是(C)。
A.$ \sqrt{16}= \pm 4 $
B.$ \sqrt{16}= -4 $
C.$ \pm \sqrt{16}= \pm 4 $
D.$ \sqrt{-16}= -4 $

答案： C

5. 某个数的一个平方根是 $ -5 $,则这个数是25。

答案： 25

6. 若 $ \sqrt{x + 2}= 2 $,则 $ 2x + 5 $ 的平方根是$\pm 3$。

答案： $\pm 3$

7. 已知一个正数的两个平方根分别是 $ 3x - 2 $和 $ x - 6 $,则这个数是16。

答案： 16

8. 求下列各数的平方根：
(1) $ 81 $；
(2) $ 1.96 $；
(3) $ 30 $；
(4) $ \frac{49}{225} $；
(5) $ (-1\frac{3}{7})^{2} $；
(6) $ \sqrt{15^{2}+8^{2}} $。

答案：
(1) 因为$(\pm9)^2 = 81$，所以$81$的平方根是$\pm9$。
(2) 因为$(\pm1.4)^2 = 1.96$，所以$1.96$的平方根是$\pm1.4$。
(3) 因为$(\pm\sqrt{30})^2 = 30$，所以$30$的平方根是$\pm\sqrt{30}$。
(4) 因为$(\pm\frac{7}{15})^2 = \frac{49}{225}$，所以$\frac{49}{225}$的平方根是$\pm\frac{7}{15}$。
(5) $(-1\frac{3}{7})^2 = (\frac{10}{7})^2$，因为$(\pm\frac{10}{7})^2 = (\frac{10}{7})^2$，所以$(-1\frac{3}{7})^2$的平方根是$\pm\frac{10}{7}$。
(6) $\sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$，因为$(\pm\sqrt{17})^2 = 17$，所以$\sqrt{15^2 + 8^2}$的平方根是$\pm\sqrt{17}$。

9. $ \sqrt{81} $ 的平方根是(B)。
A.$ -3 $
B.$ \pm 3 $
C.$ \pm 9 $
D.$ -9 $

答案： B

10. 已知 $ \sqrt{2a - 4} $ 有意义,则 $ a $ 能取的最小整数为(C)。
A.$ 0 $
B.$ -1 $
C.$ 2 $
D.$ 3 $

答案： C

11. 若 $ m $,$ n $ 满足 $ (m - 3)^{2}+\sqrt{n - 6}= 0 $,则 $ \sqrt{m + n} $ 的平方根是$\pm\sqrt{3}$。

答案： $\pm\sqrt{3}$（或填$\pm 1.732$（保留三位小数）不常见，一般写$\pm\sqrt{3}$）按题目要求填$\pm\sqrt{3}$对应的形式（本题应填具体数值形式，以根式呈现），本题答案为$\pm \sqrt{3}$对应的空白填写形式为“$\pm\sqrt{3}$”。

12. 观察下列各式：
$ \sqrt{2-\frac{2}{5}}= \sqrt{\frac{8}{5}}= \sqrt{\frac{4× 2}{5}}= 2\sqrt{\frac{2}{5}} $；
$ \sqrt{3-\frac{3}{10}}= \sqrt{\frac{27}{10}}= \sqrt{\frac{9× 3}{10}}= 3\sqrt{\frac{3}{10}} $；…。
(1) 按照上式所含的规律,根据你的理解填写：$ \sqrt{4-\frac{4}{17}}= $$\sqrt{\frac{64}{17}}$=$\sqrt{\frac{16×4}{17}}$=$4\sqrt{\frac{4}{17}}$,即 $ \sqrt{4-\frac{4}{17}}= $$4\sqrt{\frac{4}{17}}$；
(2) 猜想：$ \sqrt{5-\frac{5}{26}}= $$5\sqrt{\frac{5}{26}}$；
(3) 请用含有整数 $ n(n\geq 2) $ 的式子写出你发现的规律,并说明理由。
规律：$\sqrt{n - \frac{n}{n^{2}+1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^{2}+1}}(n\geq2且n为整数)$。
理由：
$\sqrt{n - \frac{n}{n^{2}+1}}$
=$\sqrt{\frac{n(n^{2}+1)-n}{n^{2}+1}}$
=$\sqrt{\frac{n(n^{2}+1 - 1)}{n^{2}+1}}$
=$\sqrt{\frac{n\cdot n^{2}}{n^{2}+1}}$
=$\sqrt{\frac{n^{2}\cdot n}{n^{2}+1}}$
=$n\sqrt{\frac{n}{n^{2}+1}}$。

答案：
(1)
$\sqrt{4 - \frac{4}{17}}$
=$\sqrt{\frac{68 - 4}{17}}$
=$\sqrt{\frac{64}{17}}$
=$\sqrt{\frac{16×4}{17}}$
=$4\sqrt{\frac{4}{17}}$
即$\sqrt{4 - \frac{4}{17}} = 4\sqrt{\frac{4}{17}}$。
(2)
$\sqrt{5 - \frac{5}{26}}=5\sqrt{\frac{5}{26}}$。
(3)
规律：$\sqrt{n - \frac{n}{n^{2}+1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^{2}+1}}(n\geq2且n为整数)$。
理由：
$\sqrt{n - \frac{n}{n^{2}+1}}$
=$\sqrt{\frac{n(n^{2}+1)-n}{n^{2}+1}}$
=$\sqrt{\frac{n(n^{2}+1 - 1)}{n^{2}+1}}$
=$\sqrt{\frac{n\cdot n^{2}}{n^{2}+1}}$
=$\sqrt{\frac{n^{2}\cdot n}{n^{2}+1}}$
=$n\sqrt{\frac{n}{n^{2}+1}}$。