《2025年同步练习册北京师范大学出版社八年级数学上册北师大版》

勾股定理
- 表达形式：在 $ Rt\triangle ABC $ 中, $ \angle C = 90° $, $ \angle A $, $ \angle B $, $ \angle C $ 的对边分别是 $ a $, $ b $, $ c $,则$a^2 + b^2 = c^2$
- 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
- 引申：以直角三角形两条直角边为边长的正方形面积之和等于以斜边为边长的正方形面积
勾股定理的逆定理
- 如果一个三角形的三边长$a$、$b$、$c$满足$a^2 + b^2 = c^2$,那么这个三角形是直角三角形
- 常见勾股数： $ 3 $, $ 4 $, $ 5 $；5，12，13（答案不唯一）
应用
- 直角三角形中已知两边求第三边
- 典型题：几何体表面两点间的最短距离

答案： $a^2 + b^2 = c^2$；两直角边的平方和等于斜边的平方；边长；正方形面积之和；边长；正方形面积；一个三角形的三边长$a$、$b$、$c$满足$a^2 + b^2 = c^2$；5，12，13（答案不唯一）

1. 如图,某港口 $ P $ 位于东西方向的海岸线上,甲、乙两艘轮船同时离开港口 $ P $,分别以每小时 $ 12 $ 海里和 $ 16 $ 海里的速度沿着北偏西 $ 40° $ 方向和北偏东 $ 50° $ 方向航行, $ 1 $ 小时后,两船相距20海里。
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答案： 20

2. 如图,要在河边 $ l $ 上修建一座水泵站,分别向 $ A $, $ B $ 两个村庄送水,已知 $ A $, $ B $ 两村到河边的距离分别为 $ AC = 1 \ km $ 和 $ BD = 3 \ km $,且 $ C $, $ D $ 两点相距 $ 3 \ km $,则所铺设的水管至少是(A)。

A.$ 5 \ km $
B.$ 4 \ km $
C.$ 3 \ km $
D.$ 6 \ km $

答案： A

3. 如图,一高层住宅发生火灾,消防车立即赶到距高层住宅 $ 9 \ m $ 处(车尾 $ AE $ 到高层住宅墙面的距离 $ DE $),升起云梯 $ AB $ 到发生火灾的住户家窗口,已知云梯长 $ 15 \ m $,云梯底部距地面 $ 3 \ m $,发生火灾的住户家窗口距地面的高度 $ BD $ 是多少米？
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答案： 由题意，得$AE=DE=9 m$，$AB = 15 m$，$AD = 3 m$，
在$Rt\triangle AEB$中，由勾股定理，得
$BE=\sqrt{AB^{2}-AE^{2}}=\sqrt{15^{2}-9^{2}}=\sqrt{225 - 81}=\sqrt{144}=12$（$ m$）。
所以$BD=BE+AD=12 + 3=15$（$ m$）。
即发生火灾的住户家窗口距地面的高度$BD$是$15 m$。