《2025年同步练习册北京师范大学出版社八年级数学上册北师大版》

11. 如图,$ AD = 8 $,$ CD = 6 $,$ \angle ADC = 90° $,$ AB = 26 $,$ BC = 24 $,该图形的面积等于144。

答案： 144

12. 一个三角形的三条边长度之比为 $ 3 : 4 : 5 $,且其周长为 $ 60\ cm $,其面积为150\ cm²。

答案： $150\ cm^{2}$（或 填 150）

13. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB : BC : CA = 3 : 4 : 5 $,且周长为 $ 36\ cm $,点 $ P $ 从点 $ A $ 开始沿 $ AB $ 边向点 $ B $ 以 $ 1\ cm/s $ 的速度移动；点 $ Q $ 从点 $ B $ 开始沿 $ BC $ 边向点 $ C $ 以 $ 2\ cm/s $ 的速度移动。如果点 $ P $,$ Q $ 同时出发,经过 $ 3\ s $,$ \triangle PBQ $ 的面积为多少？

答案： 设 $AB = 3x\ cm$, $BC = 4x\ cm$, $CA = 5x\ cm$。
根据三角形的周长为 $36\ cm$，有：
$3x + 4x + 5x = 36$，
$12x = 36$，
$x = 3$。
因此，$AB = 9\ cm$，$BC = 12\ cm$，$CA = 15\ cm$。
经过 $3\ s$ 后，点 $P$ 沿 $AB$ 移动了 $3\ cm$，所以 $AP = 3\ cm$，从而 $PB = AB - AP = 9 - 3 = 6\ cm$。
同样地，点 $Q$ 沿 $BC$ 移动了 $6\ cm$，所以 $BQ = 6\ cm$。
由于 $AB:BC:CA = 3:4:5$，根据勾股定理的逆定理，$\triangle ABC$ 是一个直角三角形，且 $\angle B = 90°$。
因此，$\triangle PBQ$ 的面积 $S$ 可以用以下公式计算：
$S = \frac{1}{2} × PB × BQ = \frac{1}{2} × 6 × 6 = 18\ (cm^2)$。
答：经过$3s$，$\triangle PBQ$的面积为$18\ cm^2$。

14. 【综合与实践】数学老师在一次“探究性学习”课中,设计了如下数表：
| $ n $ | $ 2 $ | $ 3 $ | $ 4 $ | $ 5 $ | …$ $ |
| $ a $ | $ 3 $ | $ 8 $ | $ 15 $ | $ 24 $ | …$ $ |
| $ b $ | $ 4 $ | $ 6 $ | $ 8 $ | $ 10 $ | …$ $ |
| $ c $ | $ 5 $ | $ 10 $ | $ 17 $ | $ 26 $ | …$ $ |

由上表可知,当 $ n = 2 $ 时,$ a = 3 $,$ b = 4 $,$ c = 5 $；当 $ n = 3 $ 时,$ a = 8 $,$ b = 6 $,$ c = 10 $。
(1)当 $ n = 6 $ 时,$ a = $35,$ b = $12,$ c = $37。
(2)请你分别观察 $ a $,$ b $,$ c $ 与 $ n (n ＞ 1) $ 之间的关系,并分别用含 $ n $ 的代数式表示 $ a $,$ b $,$ c $。
$ a = $$n^{2}-1$,$ b = $$2n$,$ c = $$n^{2}+1$。
(3)猜想以 $ a $,$ b $,$ c $ 为边长的三角形是不是直角三角形,并说明理由。
以$a$，$b$，$c$为边长的三角形是直角三角形。
理由：
因为$a^{2}+b^{2}=(n^{2}-1)^{2}+(2n)^{2}=n^{4}-2n^{2}+1 + 4n^{2}=n^{4}+2n^{2}+1$
$c^{2}=(n^{2}+1)^{2}=n^{4}+2n^{2}+1$
所以$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
根据勾股定理的逆定理，以$a$，$b$，$c$为边长的三角形是直角三角形。

答案：
(1)
$a = 35$，$b = 12$，$c = 37$
(2)
$a=n^{2}-1+ 2×(n-1 + 1)-1=n^{2}-1$（通过观察$n = 2$时，$a=2^{2}-1 = 3$；$n = 3$时，$a=3^{2}-1 = 8$等得出）
$b = 2n$（$n = 2$时，$b = 4=2×2$；$n = 3$时，$b = 6=2×3$等得出）
$c=n^{2}+1$（$n = 2$时，$c=2^{2}+1 = 5$；$n = 3$时，$c=3^{2}+1 = 10$等得出）
(3)
以$a$，$b$，$c$为边长的三角形是直角三角形。
理由：
因为$a^{2}+b^{2}=(n^{2}-1)^{2}+(2n)^{2}=n^{4}-2n^{2}+1 + 4n^{2}=n^{4}+2n^{2}+1$
$c^{2}=(n^{2}+1)^{2}=n^{4}+2n^{2}+1$
所以$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
根据勾股定理的逆定理，以$a$，$b$，$c$为边长的三角形是直角三角形。