《2025年同步练习册北京师范大学出版社八年级数学上册北师大版》

1. 二次根式的混合运算顺序：先算乘方(或开方),再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行运算的,可适当改变运算顺序进行简便运算。

答案： 乘方；乘除；加减；括号

2. 二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、乘、除、乘方及开方这六种运算中含有两种或两种以上的运算。同时注意合理地运用运算律及相关的公式、法则、性质等。在运算过程中,能用乘法公式的要尽量使用乘法公式。

答案： 减；除；开方；乘法公式

1. 下列计算正确的是(D)。
A.$\sqrt{12}+\sqrt{3}= \sqrt{15}$
B.$\sqrt{12}×\sqrt{3}= 36$
C.$\sqrt{12}-\sqrt{3}= 3$
D.$\sqrt{12}÷\sqrt{3}= 2$

答案： D

2. 下列计算正确的是(B)。
A.$\sqrt{5}-\sqrt{3}= \sqrt{2}$
B.$3\sqrt{5}×2\sqrt{3}= 6\sqrt{15}$
C.$(2\sqrt{2})^{2}= 16$
D.$\frac{3}{\sqrt{3}}= 1$

答案： B

3. 如果$(2+\sqrt{2})^{2}= a+b\sqrt{2}$($a$,$b$都为有理数),那么$a+b$等于(D)。
A.2
B.3
C.8
D.10

答案： D

4. 下列计算正确的是(A)。
A.$\sqrt{8}-\sqrt{2}= \sqrt{2}$
B.$\sqrt{3^{2}+4^{2}}= 7$
C.$(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})= 1$
D.$(\sqrt{24}-\sqrt{6})÷\sqrt{6}= 3$

答案： A

5. 化简$(3\sqrt{2}-1)^{2}$的结果是$19 - 6\sqrt{2}$。

答案： $19 - 6\sqrt{2}$

6. 化简$(\sqrt{5}-2)^{4024}\cdot(\sqrt{5}+2)^{4025}$的结果是$\sqrt{5}+2$。

答案： $\sqrt{5}+2$

7. 对比计算：
第一组：$\sqrt{3}×\sqrt{\frac{1}{3}}=$1；$\sqrt{3}+\sqrt{\frac{1}{3}}=$$\frac{4\sqrt{3}}{3}$。
第二组：$\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=$$\sqrt{2}+1$；$\frac{\sqrt{15}×\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=$3。

答案： 第一组：1；$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（或 $1\frac{\sqrt{3}}{3}$ 规范写法为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$ ）；
第二组：$\sqrt{2}+1$；3 。

8. 计算：
(1)$9\sqrt{3}+7\sqrt{12}-5\sqrt{48}+3\sqrt{\frac{1}{3}}$；
(2)$\sqrt{6}×(2\sqrt{3}-3\sqrt{\frac{1}{3}})$；
(3)$(5\sqrt{48}+\sqrt{12}-3\sqrt{\frac{1}{3}})÷\sqrt{3}$；
(4)$\sqrt{3}-\sqrt{3}(1-\sqrt{3})$；
(5)$\sqrt{12}×\sqrt{3}-(\sqrt{5})^{2}+\sqrt{32}÷\sqrt{\frac{1}{2}}$；
(6)$(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)-(1-\sqrt{5})^{2}$。

答案：
(1)
$7\sqrt{12}=7\sqrt{4×3}=14\sqrt{3}$；
$5\sqrt{48}=5\sqrt{16×3}=20\sqrt{3}$；
$3\sqrt{\frac{1}{3}}=3×\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}} = 3×\frac{1}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$。
$9\sqrt{3}+7\sqrt{12}-5\sqrt{48}+3\sqrt{\frac{1}{3}}$
$=9\sqrt{3}+14\sqrt{3}-20\sqrt{3}+\sqrt{3}$
$=(9 + 14-20 + 1)\sqrt{3}$
$=4\sqrt{3}$
(2)
$3\sqrt{\frac{1}{3}}=3×\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$。
$\sqrt{6}×(2\sqrt{3}-3\sqrt{\frac{1}{3}})$
$=\sqrt{6}×(2\sqrt{3}-\sqrt{3})$
$=\sqrt{6}×\sqrt{3}$
$=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$
(3)
$5\sqrt{48}=5\sqrt{16×3}=20\sqrt{3}$；
$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$；
$3\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{3}$。
$(5\sqrt{48}+\sqrt{12}-3\sqrt{\frac{1}{3}})÷\sqrt{3}$
$=(20\sqrt{3}+2\sqrt{3}-\sqrt{3})÷\sqrt{3}$
$=21\sqrt{3}÷\sqrt{3}$
$=21$
(4)
$\sqrt{3}-\sqrt{3}(1 - \sqrt{3})$
$=\sqrt{3}-\sqrt{3}+3$
$=3$
(5)
$\sqrt{12}×\sqrt{3}=\sqrt{36}=6$；
$(\sqrt{5})^{2}=5$；
$\sqrt{32}÷\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{32}×\sqrt{2}=\sqrt{64}=8$。
$\sqrt{12}×\sqrt{3}-(\sqrt{5})^{2}+\sqrt{32}÷\sqrt{\frac{1}{2}}$
$=6 - 5+8$
$=9$
(6)
根据平方差公式$(a - b)(a + b)=a^{2}-b^{2}$，$(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)=(\sqrt{5})^{2}-1^{2}=5 - 1 = 4$；
根据完全平方公式$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$，$(1-\sqrt{5})^{2}=1-2\sqrt{5}+5=6-2\sqrt{5}$。
$(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)-(1-\sqrt{5})^{2}$
$=4-(6 - 2\sqrt{5})$
$=4 - 6+2\sqrt{5}$
$=2\sqrt{5}-2$