《2025年同步练习册北京师范大学出版社八年级数学上册北师大版》

8. 如图,有一个圆柱形礼盒,高 $ 18 cm $,底面周长为 $ 12 cm $,现准备在礼盒表面粘贴彩带作为装饰,若彩带一端粘在 $ A $ 处,另一端绕礼盒侧面 $ 2 $ 周后粘贴在 $ C $ 处($ B $ 为 $ AC $ 的中点),则彩带最短为(D)。

A.$ 15 cm $
B.$ 20 cm $
C.$ 25 cm $
D.$ 30 cm $

答案： D

9. 为筹备晚会,同学们设计了一个圆柱形灯罩,底面漆成白色,然后缠上红色油纸,如图所示。已知圆柱的高为 $ 108 cm $,其横截面的周长为 $ 36 cm $,如果在其表面缠上 $ 4 $ 圈油纸,最少应裁剪多长的油纸？(油纸厚度忽略不计)
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答案： 将圆柱展开成一个长方形，其高为 $108 cm$，宽为 $36 cm$。
油纸缠 $4$ 圈，即每圈的高度为 $\frac{108 cm}{4} = 27 cm$。
在展开的长方形上，油纸的路径为斜线，斜线长由勾股定理计算：
设斜线长为 $L$，则$L = \sqrt{27^2 + 36^2} = \sqrt{729 + 1296} = \sqrt{2025} = 45 cm$。
$4$ 圈油纸的总长度为 $4 × 45 cm = 180 cm$。
最少应裁剪 $180 cm$ 的油纸。

10. 如图所示的是一块长、宽、高分别是 $ 4 cm $,$ 2 cm $ 和 $ 1 cm $ 的长方体木块,一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点 $ A $ 处,沿着长方体的表面到和点 $ A $ 相对的顶点 $ B $ 处吃食物,那么它需要爬行的最短路程是多少？
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答案： 解：
将长方体表面展开，利用“两点之间线段最短”及勾股定理计算路径长度，分三种情况：
情况1：展开长×宽面与长×高面
展开后形成长方形，长为 $4\ cm$，宽为 $2+1=3\ cm$。
路径长 $L_1 = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\ cm$。
情况2：展开长×宽面与宽×高面
展开后形成长方形，长为 $4+2=6\ cm$，宽为 $1\ cm$。
路径长 $L_2 = \sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{36 + 1} = \sqrt{37} \approx 6.08\ cm$。
情况3：展开长×高面与宽×高面
展开后形成长方形，长为 $4+1=5\ cm$，宽为 $2\ cm$。
路径长 $L_3 = \sqrt{5^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} \approx 5.39\ cm$。
比较得：$L_1 = 5\ cm$ 为最小值。
最短路程是 $5\ cm$。

11. 【综合与实践】如图,圆柱形玻璃杯高 $ 14 cm $,底面周长为 $ 32 cm $,在杯内壁离杯底 $ 5 cm $ 的点 $ C $ 处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿 $ 3 cm $ 的点 $ A $ 处,则蚂蚁从外壁 $ A $ 处到内壁 $ C $ 处的最短路程是多少？(杯壁厚度忽略不计)
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答案： 20 cm。