《2025年同步练习册北京师范大学出版社八年级数学上册北师大版》

11. 计算：
(1)$\sqrt { 45 } ÷ \sqrt { 3 } × \sqrt { \frac { 1 } { 3 } }$；
(2)$\frac { 3 \sqrt { 5 } × 2 \sqrt { 3 } } { \sqrt { 5 } }$；
(3)$( 2 \sqrt { 3 } - 1 ) ^ { 2 }$；
(4)$\left( 2 \sqrt { 3 } - \sqrt { \frac { 3 } { 2 } } \right) × \sqrt { \frac { 2 } { 3 } }$；
(5)$\frac { \sqrt { 18 } - \sqrt { 6 } } { \sqrt { 2 } } - \sqrt { 25 }$。

答案：
(1)
$\sqrt{45} ÷ \sqrt{3} × \sqrt{\frac{1}{3}}$
$=\sqrt{\frac{45}{3} × \frac{1}{3}}$
$=\sqrt{5}$
(2)
$\frac{3\sqrt{5} × 2\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$
$=\frac{6\sqrt{15}}{\sqrt{5}}$
$=6\sqrt{3}$
(3)
$(2\sqrt{3} - 1)^{2}$
$=(2\sqrt{3})^{2} - 2× 2\sqrt{3} + 1^{2}$
$=12 - 4\sqrt{3} + 1$
$=13 - 4\sqrt{3}$
(4)
$\left(2\sqrt{3} - \sqrt{\frac{3}{2}}\right) × \sqrt{\frac{2}{3}}$
$=2\sqrt{3×\frac{2}{3}} - \sqrt{\frac{3}{2}×\frac{2}{3}}$
$=2\sqrt{2} - 1$
(5)
$\frac{\sqrt{18} - \sqrt{6}}{\sqrt{2}} - \sqrt{25}$
$=\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} - 5$
$=\sqrt{9} - \sqrt{3} - 5$
$=3 - \sqrt{3} - 5$
$=-2 - \sqrt{3}$

12. 一个直角三角形的两直角边长分别是$( 3 - \sqrt { 2 } ) \mathrm { cm }和( 3 + \sqrt { 2 } ) \mathrm { cm }$。求这个三角形的面积和周长。

答案： 面积：$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}×(3-\sqrt{2})(3+\sqrt{2})\\&=\frac{1}{2}×[3^2-(\sqrt{2})^2]\\&=\frac{1}{2}×(9-2)\\&=\frac{7}{2}\,\mathrm{cm}^2\end{aligned}$
周长：$\begin{aligned}斜边&=\sqrt{(3-\sqrt{2})^2+(3+\sqrt{2})^2}\\&=\sqrt{9-6\sqrt{2}+2+9+6\sqrt{2}+2}\\&=\sqrt{22}\,\mathrm{cm}\\周长&=(3-\sqrt{2})+(3+\sqrt{2})+\sqrt{22}\\&=6+\sqrt{22}\,\mathrm{cm}\end{aligned}$
面积为$\frac{7}{2}\,\mathrm{cm}^2$，周长为$(6+\sqrt{22})\,\mathrm{cm}$。

13. 【数学应用】在初、高中阶段,要求二次根式化简的最终结果中分母不含有根号,也就是说当分母中有无理数时,要将其化为有理数,实现分母有理化。比如：
(1)$\frac { 2 } { \sqrt { 3 } } = \frac { 2 × \sqrt { 3 } } { \sqrt { 3 } × \sqrt { 3 } } = \frac { 2 \sqrt { 3 } } { 3 }$；
(2)$\frac { 2 } { \sqrt { 3 } + 1 } = \frac { 2 ( \sqrt { 3 } - 1 ) } { ( \sqrt { 3 } + 1 ) ( \sqrt { 3 } - 1 ) } = \frac { 2 ( \sqrt { 3 } - 1 ) } { 2 } = \sqrt { 3 } - 1$。
试试看,你能将下列各式进行化简吗？
(1)$\frac { 1 } { \sqrt { 2 } }$；
(2)$\frac { 1 } { \sqrt { 2 } + 1 }$；
(3)$\frac { 1 } { 1 + \sqrt { 2 } } + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } + \sqrt { 3 } } + … + \frac { 1 } { \sqrt { 8 } + \sqrt { 9 } }$。

答案：
(1)$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
(2)$\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\frac{1×(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2})^2-1^2}=\frac{\sqrt{2}-1}{2-1}=\sqrt{2}-1$
(3)$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{9}}$
$=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\dots+(\sqrt{9}-\sqrt{8})$
$=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\dots+3-\sqrt{8}$
$=-1+3=2$