《2025年同步练习册北京师范大学出版社八年级数学上册北师大版》

1. 勾股定理的验证方法有很多。其中主要用的是等面积法(也称“算两次”),即用整体计算和分割计算面积的两种方法列出等式,然后化简,即可验证勾股定理。
2. 图①、图②都能够验证勾股定理:在图①中,大正方形 $ABCD$ 的面积既可以表示为 $(a + b)^2$,也可以表示为 $4×\frac{1}{2}ab + c^2$,由同一图形的面积相等,可以列出等式 $(a + b)^2 = 4×\frac{1}{2}ab + c^2$,化简可得 $a^2 + b^2 = c^2$。在图②中,梯形 $EFGH$ 的面积既可以表示为$\frac{1}{2}(a + b)^{2}$,也可以表示为$2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2}$,根据同一图形的面积相等,可以列出等式$\frac{1}{2}(a + b)^{2}=2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2}$,化简可得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。

答案： 1. 对于梯形$EFGH$：
梯形面积公式为$S=\frac{1}{2}(上底 + 下底)×高$，这里上底$=a$，下底$=b$，高$=a + b$，所以梯形$EFGH$的面积既可以表示为$\frac{1}{2}(a + b)(a + b)=\frac{1}{2}(a + b)^{2}$。
梯形$EFGH$的面积还可以表示为三个直角三角形面积之和，即$2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2}$。
根据同一图形的面积相等。
可以列出等式$\frac{1}{2}(a + b)^{2}=2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2}$。
化简：
首先展开$\frac{1}{2}(a + b)^{2}$，根据完全平方公式$(m + n)^{2}=m^{2}+2mn + n^{2}$（这里$m = a$，$n = b$），$\frac{1}{2}(a + b)^{2}=\frac{1}{2}(a^{2}+2ab + b^{2})=\frac{1}{2}a^{2}+ab+\frac{1}{2}b^{2}$，$2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2}=ab+\frac{1}{2}c^{2}$。
则$\frac{1}{2}a^{2}+ab+\frac{1}{2}b^{2}=ab+\frac{1}{2}c^{2}$，等式两边同时减去$ab$，得到$\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}b^{2}=\frac{1}{2}c^{2}$，两边同时乘以$2$，可得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
故答案依次为：$\boldsymbol{\frac{1}{2}(a + b)^{2}}$；$\boldsymbol{2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2}}$；**同一图形的面积相等**；$\boldsymbol{\frac{1}{2}(a + b)^{2}=2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2}}$；$\boldsymbol{a^{2}+b^{2}=c^{2}}$。

1. 如图,$a$,$b$,$c$ 分别表示以直角三角形的三条边为边分别向外作的正方形的面积,下列关系正确的是(A)。

A.$a + b = c$
B.$a^2 + b^2 = c^2$
C.$ab = c$
D.$a + b = c^2$

答案： A

2. 如图,阴影部分是正方形,其面积是(B)。

A.16
B.8
C.4
D.2

答案： B

3. 如图,点 $A$,$C$ 之间隔有一湖,在与 $AC$ 方向成 $90^{\circ}$ 角的 $CB$ 方向上的点 $B$ 处测得 $BA = 50m$,$BC = 40m$,则 $A$,$C$ 两点之间的距离为(A)。

A.$30m$
B.$40m$
C.$50m$
D.$60m$

答案： A

4. 如图,学校有一块长方形花圃,有极少数人为了避开拐角而走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”。他们仅仅少走了 4步(假设 2 步为 $1m$),却踩伤了花草。

答案： 4

5. 如图,由四个全等的直角三角形拼成一个大正方形,若直角三角形的两条直角边长分别为 2,3,则大正方形的面积为 13。

答案： 13

6. 如图,阴影部分是两个正方形,其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形,则阴影部分的面积为 ______。
81

答案： 81

7. 如图,点 $E$ 在正方形 $ABCD$ 内,满足 $\angle AEB = 90^{\circ}$,$AE = 6$,$BE = 8$,则阴影部分的面积是 76。

答案： 76