《2025年同步练习册北京师范大学出版社八年级数学上册北师大版》

13. 求下列各式中 $ x $ 的值：
(1) $ 4x^{2}-121 = 0 $；
(2) $ 6(x + 1)^{2}-18 = 0 $；
(3) $ (3x + 2)^{2}= 16 $；
(4) $ \frac{1}{2}(2x - 1)^{2}= 2 $。

答案：
(1)
由$4x^{2}-121 = 0$，
得$4x^{2}=121$，
$x^{2}=\frac{121}{4}$，
根据平方根定义$x=\pm\sqrt{\frac{121}{4}}$，
$x = \pm\frac{11}{2}$。
(2)
由$6(x + 1)^{2}-18 = 0$，
得$6(x + 1)^{2}=18$，
$(x + 1)^{2}=3$，
根据平方根定义$x + 1=\pm\sqrt{3}$，
$x=-1\pm\sqrt{3}$。
(3)
由$(3x + 2)^{2}=16$，
根据平方根定义$3x + 2=\pm\sqrt{16}=\pm4$，
当$3x + 2 = 4$时，$3x=2$，$x=\frac{2}{3}$；
当$3x + 2=-4$时，$3x=-6$，$x = - 2$。
所以$x=\frac{2}{3}$或$x=-2$。
(4)
由$\frac{1}{2}(2x - 1)^{2}=2$，
得$(2x - 1)^{2}=4$，
根据平方根定义$2x - 1=\pm\sqrt{4}=\pm2$，
当$2x - 1 = 2$时，$2x=3$，$x=\frac{3}{2}$；
当$2x - 1=-2$时，$2x=-1$，$x=-\frac{1}{2}$。
所以$x=\frac{3}{2}$或$x=-\frac{1}{2}$。

14. 计算下列题目：
$ \sqrt{2^{2}}= $2；
$ \sqrt{2.5^{2}}= $2.5；
$ \sqrt{(-3)^{2}}= $3；
$ \sqrt{0^{2}}= $0；
$ \sqrt{(\frac{3}{5})^{2}}= $$\frac{3}{5}$；
$ \sqrt{(-\frac{2}{3})^{2}}= $$\frac{2}{3}$。
请根据计算结果,回答下列问题：
(1) $ \sqrt{a^{2}} $ 一定等于 $ a $ 吗？你发现其中的规律了吗？请用自己的语言描述出来。
不一定，规律为：$\sqrt{a^{2}} = |a|$。
(2) 利用你总结的规律,计算：
① $ \sqrt{(2-\sqrt{5})^{2}}= $$\sqrt{5}-2$；
② 若 $ a＞4 $,试化简 $ \sqrt{a^{2}-6a + 9}+\left|a - 4\right| $。
$\sqrt{a^{2}-6a + 9}+\left|a - 4\right| = |a-3| + |a-4|$，因为$a＞4$，所以$|a-3| + |a-4| = a-3 + a-4 = 2a-7$。
(3) 如图所示的是数 $ p $ 在数轴上的对应点的位置,化简 $ \sqrt{(p - 1)^{2}}+\sqrt{(p - 2)^{2}} $。

由数轴可知$1 ＜ p ＜ 2$，$\sqrt{(p - 1)^{2}}+\sqrt{(p - 2)^{2}} = |p - 1| + |p - 2| = p - 1 + 2 - p = 1$。

答案： $ \sqrt{2^{2}}= 2$；
$ \sqrt{2.5^{2}}= 2.5$；
$ \sqrt{(-3)^{2}}= 3$；
$ \sqrt{0^{2}}= 0$；
$ \sqrt{(\frac{3}{5})^{2}}= \frac{3}{5}$；
$ \sqrt{(-\frac{2}{3})^{2}}= \frac{2}{3}$；
(1) 不一定，规律为：$ \sqrt{a^{2}} = |a| $。
(2) ① $ \sqrt{(2-\sqrt{5})^{2}}= |2-\sqrt{5}| = \sqrt{5}-2 $；
② $ \sqrt{a^{2}-6a + 9}+\left|a - 4\right| = |a-3| + |a-4| $，
因为 $ a＞4 $，
所以 $ |a-3| + |a-4| = a-3 + a-4 = 2a-7 $。
(3) 由数轴可知 $ 1 ＜ p ＜ 2 $，
$ \sqrt{(p - 1)^{2}}+\sqrt{(p - 2)^{2}} = |p - 1| + |p - 2| = p - 1 + 2 - p = 1 $。