《2025年同步练习册北京师范大学出版社八年级数学上册北师大版》

8. 图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的。若 $AC = 6$,$BC = 5$,将四个直角三角形中边长为 6 的直角边向外延长一倍,得到如图②所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长是(D)。

A.72
B.52
C.80
D.76

答案： D

9. 如图,直线 $l$ 上有三个正方形 $A$,$B$,$C$,若正方形 $A$,$C$ 的面积分别为 5 和 11,则正方形 $B$ 的面积为(C)。

A.4
B.6
C.16
D.55

答案： C

10. 如图,在长方形 $ABCD$ 中,点 $E$ 在边 $AB$ 上,将长方形 $ABCD$ 沿直线 $DE$ 折叠,点 $A$ 恰好落在边 $BC$ 上的点 $F$ 处。若 $AE = 5$,$BF = 3$,则 $CD$ 的长为(C)。

A.7
B.8
C.9
D.10

答案： C

11. 如图,$A$ 地和 $B$ 地之间有一座山,从 $A$ 地到 $B$ 地需要绕行 $C$ 地。在 $\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AC = 300m$,$BC = 400m$,若打通穿山隧道,建成 $A$,$B$ 两地的高铁,则 $AB= $ 500 $m$,一辆全长 $200m$ 的动车组,以 $350km/h$ 的速度全部通过该隧道需要 7.2 $s$。

答案： $500$；$7.2$。

12. 【数学应用】我们发现,用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题,这种方法称为等面积法,这是一种重要的数学方法。请你用等面积法来探究下列问题：
(1) 图①是著名的“赵爽弦图”,由四个全等的直角三角形拼成,请你用它验证勾股定理；
(2) 如图②,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$CD$ 是 $AB$ 边上的高,$AC = 4$,$BC = 3$,求 $CD$ 的长度；
(3) 尝试构造一个图形,使它能够解释 $(a + b)(a + 2b) = a^2 + 3ab + 2b^2$,并在图中标注出 $a$,$b$ 所表示的线段。

答案：
(1)
对于“赵爽弦图”，大正方形的边长为$c$，其面积为$c^{2}$。
大正方形面积也等于四个直角三角形的面积与中间小正方形面积之和，四个直角三角形面积为$4×\frac{1}{2}ab = 2ab$，小正方形边长为$(b - a)$，面积为$(b - a)^{2}=b^{2}-2ab + a^{2}$。
所以$c^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab-(2ab)=a^{2}+b^{2}$，即勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$得证。
(2)
在$Rt\triangle ABC$中，根据勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}} = 5$。
因为$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CD$，已知$AC = 4$，$BC = 3$，$AB = 5$，则$\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×5× CD$，解得$CD=\frac{12}{5}$。
(3)
画一个长为$a + 2b$，宽为$a + b$的长方形，将长方形分割为$1$个边长为$a$的正方形，$3$个长为$a$、宽为$b$的长方形，$2$个边长为$b$的正方形，在相应线段上标注$a$，$b$。
综上，答案依次为：
(1) 证明过程如上述；
(2)$CD=\frac{12}{5}$；
(3) 按描述构造图形并标注。