《2025年同步练习册北京师范大学出版社八年级数学上册北师大版》

13. 如图,平面直角坐标系内一点$A的坐标是(2,-1)$,点$O$是原点,点$P$是坐标轴上任意一点,是否存在点$P$,使得$\triangle POA是以OA$为腰的等腰三角形？若存在,写出点$P$的坐标；若不存在,请说明理由。

答案： 存在点$P$，使得$\triangle POA$是以$OA$为腰的等腰三角形。
当$OA = OP$时：
$OA=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt{5}$，
$P$的坐标为$(\sqrt{5},0)$，$(-\sqrt{5},0)$，$(0,\sqrt{5})$或$(0,-\sqrt{5})$。
当$OA = AP$时：
设$P$的坐标为$(x,0)$，
则$AP=\sqrt{(x-2)^2+(-1-0)^2}=\sqrt{5}$，
即$(x - 2)^2+1=5$，
$(x - 2)^2=4$，
$x - 2=\pm2$，
解得$x = 4$或$x = 0$（与原点重合，舍去）。
设$P$的坐标为$(0,y)$，
则$AP=\sqrt{(0 - 2)^2+(y + 1)^2}=\sqrt{5}$，
即$4+(y + 1)^2=5$，
$(y + 1)^2=1$，
$y+1=\pm1$，
解得$y = 0$或$y=-2$。
所以$P$的坐标为$(4,0)$，$(0,0)$（舍去），$(0,-2)$。
综上，点$P$的坐标为$(\sqrt{5},0)$，$(-\sqrt{5},0)$，$(0,\sqrt{5})$，$(0,-\sqrt{5})$，$(4,0)$，$(0,-2)$。

14.【综合与实践】在平面直角坐标系中,横坐标与纵坐标都为整数的点叫整点,动点$P从原点O$出发,运动速度为每秒$1$个单位长度,规定点$P$只能向上或向右运动,请回答下列问题：
(1)填表。
|运动时间/s|可得到的整点坐标|整点个数|
|$t = 1$|$(0,1)$,$(1,0)$|$\underline{2}$|
|$t = 2$|$\underline{(0,2),(1,1),(2,0)}$|$\underline{3}$|
|$t = 3$|$\underline{(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)}$|$\underline{4}$|

(2)当$t = 12$时,整点有$\underline{13}$个。
(3)若得到整点的坐标为$(8,7)$,则$t$为多少？
15
(4)若得到整点的坐标为$(m,n)$,则$t$为多少？
$m + n$

答案：
(1)
|运动时间/s|可得到的整点坐标|整点个数|
|----|----|----|
|$t = 1$|$(0,1)$,$(1,0)$|$2$|
|$t = 2$|$(0,2)$,$(1,1)$,$(2,0)$|$3$|
|$t = 3$|$(0,3)$,$(1,2)$,$(2,1)$,$(3,0)$|$4$|
(2)$13$
(3)$15$
(4)$m + n$