《2025年同步练习册北京师范大学出版社八年级数学上册北师大版》

5. 如图,直线 $ y = 2x + 3 $ 与 $ x $ 轴相交于点 $ A $,与 $ y $ 轴相交于点 $ B $。
(1)求 $ A $,$ B $ 两点的坐标；
(2)已知点 $ P $ 在 $ x $ 轴上,若 $ \triangle ABP $ 的面积为 $ \frac{15}{4} $,试求点 $ P $ 的坐标。

答案：
(1) 当 $y = 0$ 时，$0 = 2x + 3$，解得 $x = -\frac{3}{2}$，
所以 $A$ 点坐标为 $A\left(-\frac{3}{2}, 0\right)$。
当 $x = 0$ 时，$y = 3$，
所以 $B$ 点坐标为 $B(0, 3)$。
(2) 设 $P$ 点坐标为 $P(x, 0)$。
由题意，$\triangle ABP$ 的面积为 $\frac{15}{4}$，
即$\frac{1}{2} × |x - \left(-\frac{3}{2}\right)| × 3 = \frac{15}{4}$，
化简得$|x + \frac{3}{2}| = \frac{5}{2}$，
解得$x = 1 \quad 或 \quad x = -4$。
所以 $P$ 点坐标为 $P(1, 0)$ 或 $P(-4, 0)$。

6. 如图,已知直线 $ l: y = kx + 6 $ 与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于点 $ B $,$ C $,点 $ B $ 的坐标是 $ (-8, 0) $,点 $ A $ 的坐标是 $ (-6, 0) $。
(1)求 $ k $ 的值。
(2)若点 $ P(x, y) $ 是直线 $ l $ 在第二象限内的一个动点,试写出 $ \triangle POA $ 的面积 $ S $ 与 $ x $ 之间的关系式,并写出自变量的取值范围。
(3)在(2)的条件下,当点 $ P $ 运动到什么位置时,$ \triangle POA $ 的面积为 $ 9 $？请说明理由。

答案：
(1) 由点 $ B(-8, 0) $ 在直线 $ l $ 上，代入方程 $ y = kx + 6 $，得：
$0 = -8k + 6$，
$8k = 6$，
$k = \frac{3}{4}$。
所以$k$的值为$\frac{3}{4}$。
(2) 直线 $ l $ 的方程为 $ y = \frac{3}{4}x + 6 $。
点 $ P(x, y) $ 在直线 $ l $ 上，且 $ P $ 在第二象限，故 $ x ＜ 0 $，$ y ＞ 0 $。
三角形 $ \triangle POA $ 的底为 $ OA = 6 $，高为 $ y $，面积 $ S $ 为：
$S = \frac{1}{2} × OA × y = \frac{1}{2} × 6 × \left( \frac{3}{4}x + 6 \right) = \frac{9}{4}x + 18$。
由于 $ P $ 在第二象限，$ x $ 的取值范围为 $ -8 ＜ x ＜ 0 $。
所以$ \triangle POA $ 的面积 $ S $ 与 $ x $ 之间的关系式为$S = \frac{9}{4}x + 18$，自变量$ x $ 的取值范围为 $ -8 ＜ x ＜ 0 $。
(3) 令 $ S = 9 $，则：
$\frac{9}{4}x + 18 = 9$，
$\frac{9}{4}x = -9$，
$x = -4$。
代入 $ y = \frac{3}{4}x + 6 $，得：
$y = \frac{3}{4} × (-4) + 6 = -3 + 6 = 3$。
所以点 $ P $ 的坐标为 $ (-4, 3) $。
当点 $ P $ 运动到 $ (-4, 3) $ 时，$ \triangle POA $ 的面积为 $ 9 $。