《2025年同步练习册北京师范大学出版社八年级数学上册北师大版》

15. 【数学应用】观察：因为$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$,即$2＜\sqrt{7}＜3$,
所以$\sqrt{7}的整数部分为2$,小数部分为$\sqrt{7}-2$。
请你根据上述式子,解决下列问题：
(1)规定符号$[m]表示实数m$的整数部分,例如：$[\frac{4}{5}]= 0$,$[\pi]=3$。填空：$[\sqrt{10}+2]=$5；$[5-\sqrt{13}]=$1。
(2)如果$5+\sqrt{13}的小数部分为a$,$5-\sqrt{13}的小数部分为b$,求$a^{2}-b^{2}$的值。
$2\sqrt{13}-7$

答案：
(1)
首先，因为$\sqrt{9}\lt\sqrt{10}\lt\sqrt{16}$，即$3\lt\sqrt{10}\lt4$，所以$3 + 2\lt\sqrt{10}+2\lt4 + 2$，$5\lt\sqrt{10}+2\lt6$，则$[\sqrt{10}+2]=5$。
其次，因为$\sqrt{9}\lt\sqrt{13}\lt\sqrt{16}$，即$3\lt\sqrt{13}\lt4$，所以$-4\lt-\sqrt{13}\lt - 3$，$5-4\lt5-\sqrt{13}\lt5 - 3$，$1\lt5-\sqrt{13}\lt2$，则$[5-\sqrt{13}]=1$。
(2)
因为$\sqrt{9}\lt\sqrt{13}\lt\sqrt{16}$，即$3\lt\sqrt{13}\lt4$。
所以$5 + 3\lt5+\sqrt{13}\lt5 + 4$，$8\lt5+\sqrt{13}\lt9$，那么$a = 5+\sqrt{13}-8=\sqrt{13}-3$。
又因为$5-4\lt5-\sqrt{13}\lt5 - 3$，$1\lt5-\sqrt{13}\lt2$，所以$b = 5-\sqrt{13}-1 = 4-\sqrt{13}$。
$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)=(\sqrt{13}-3+4-\sqrt{13})(\sqrt{13}-3-(4-\sqrt{13}))$
$=1×(2\sqrt{13}-7)=2\sqrt{13}-7$。
综上，答案依次为：
(1) $5$；$1$；
(2) $2\sqrt{13}-7$。

16. 【综合与实践】如图,在一张面积为$30cm^{2}$的大正方形卡纸上,剪去四个面积为$2cm^{2}$的小正方形(阴影部分),用以制作一个无盖的长方体纸盒,请你尝试用计算器确定该长方体纸盒的底面边长$a$的大小。(结果精确到百分位)

答案： 已知大正方形面积为$30cm^{2}$，根据正方形面积公式$S =边长^{2}$，设大正方形边长为$A$，则$A^{2}=30$，所以大正方形边长$A=\sqrt{30}cm$。
因为剪去四个面积为$2cm^{2}$的小正方形后制作成无盖长方体纸盒，从图中可知长方体纸盒底面是大正方形剪去四个小正方形后中间的部分，其边长$a$与大正方形边长$A$以及小正方形边长存在关系，且小正方形面积$S_{小}=2cm^{2}$，设小正方形边长为$b$，根据正方形面积公式可得$b = \sqrt{2}cm$。
由图可知$A=a + 2b$，那么$a=A - 2b=\sqrt{30}-2\sqrt{2}$。
用计算器计算：
$\sqrt{30}\approx5.477$，$\sqrt{2}\approx1.414$。
则$a=\sqrt{30}-2\sqrt{2}\approx5.477-2×1.414$
$=5.477 - 2.828$
$\approx2.65(cm)$
答：该长方体纸盒的底面边长$a$约为$2.65cm$。