《2025年同步练习册北京师范大学出版社八年级数学上册北师大版》

3. 在某海面上,$B港在观测站A的正北方向10\sqrt{3} n mile$处,一艘轮船从$B$港出发匀速向正东方向航行,当航行到$M$处时,从观测站$A测得轮船在北偏东30^{\circ}$方向上,再航行$\frac{1}{2} h到达N$港。已知轮船的航行速度是$40 n mile/h$。
(1)运用平面内点的位置的确定方法,画出草图,借助图形计算$B$,$N$两港间的距离(提示：在直角三角形中,$30^{\circ}$角所对的直角边长等于斜边长的一半)；
(2)试用两种不同的方法描述$N$港所在的位置。

答案：
(1) 30 n mile；
(2) 见上述两种方法。

4. 如图,在平面直角坐标系中,$\triangle ABO的顶点A的坐标为(-3,-3)$,顶点$B的坐标为(-3,4)$,点$P为线段AB$上任意一点(不与点$A$,$B$重合),点$Q是点P关于x$轴对称的点。
(1)求$\triangle ABO$的面积；
(2)若点$P的纵坐标为n$,则点$Q$的坐标为______；
(3)当$\triangle OPA的面积是\triangle OPQ面积的2$倍时,求点$P$的坐标。

(1)21/2
(2)(-3,-n)
(3)(-3,1),(-3,-3/5)

答案： 1. （1）求$\triangle ABO$的面积：
解：已知$A(-3,-3)$，$B(-3,4)$，则$AB$的长度为$\vert4 - (-3)\vert=\vert4 + 3\vert = 7$，点$O$到$AB$的距离（即$A$或$B$横坐标的绝对值）$d=\vert-3\vert = 3$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，对于$\triangle ABO$，底为$AB$，高为点$O$到$AB$的距离。
所以$S_{\triangle ABO}=\frac{1}{2}× AB×\vert x_{A}\vert=\frac{1}{2}×7×3=\frac{21}{2}$。
2. （2）求点$Q$的坐标：
因为点$P$在线段$AB$上，$A(-3,-3)$，$B(-3,4)$，点$P$的纵坐标为$n$，则点$P$的坐标为$(-3,n)$（$-3\lt n\lt4$）。
关于$x$轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，所以点$Q$的坐标为$(-3,-n)$。
3. （3）求点$P$的坐标：
解：设点$P$的坐标为$(-3,n)$（$-3\lt n\lt4$），则点$Q$的坐标为$(-3,-n)$。
根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}×底×高$，对于$\triangle OPA$，底为$PA$，高为点$O$到$AB$的距离（$\vert x_{A}\vert = 3$），$PA=\vert n-(-3)\vert=\vert n + 3\vert$，所以$S_{\triangle OPA}=\frac{1}{2}×\vert n + 3\vert×3$；对于$\triangle OPQ$，底为$PQ$，$PQ=\vert n-(-n)\vert=\vert2n\vert$，高为点$O$到$AB$的距离（$\vert x_{A}\vert = 3$），所以$S_{\triangle OPQ}=\frac{1}{2}×\vert2n\vert×3$。
已知$S_{\triangle OPA}=2S_{\triangle OPQ}$，则$\frac{1}{2}×\vert n + 3\vert×3=2×\frac{1}{2}×\vert2n\vert×3$。
两边同时约去$\frac{1}{2}×3$得$\vert n + 3\vert=2\vert2n\vert$。
分情况讨论：
当$n\geq0$时，$n + 3 = 4n$，移项可得$4n−n=3$，即$3n = 3$，解得$n = 1$。
当$-3\lt n\lt0$时，$n + 3=-4n$，移项可得$n + 4n=-3$，即$5n=-3$，解得$n=-\frac{3}{5}$。
综上，（1）$\frac{21}{2}$；（2）$(-3,-n)$；（3）点$P$的坐标为$(-3,1)$或$(-3,-\frac{3}{5})$。