《2025年同步练习册北京师范大学出版社八年级数学上册北师大版》

10. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$D为AC$上一点,且$DA = DB = 5$。已知$\triangle DAB的面积为10$,则$DC$的长是3。

答案： 3

11. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$BC = 15$,$AC = 20$,$CD是AB$边上的高。求：
(1)$AB$的长；
(2)$CD$的长。

答案：
(1) 在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$BC = 15$，$AC = 20$，
根据勾股定理：
$AB = \sqrt{BC^{2} + AC^{2}} = \sqrt{15^{2} + 20^{2}} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25$，
所以$AB$的长为$25$。
(2) 根据直角三角形的面积公式，有：
$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} × BC × AC = \frac{1}{2} × AB × CD$，
代入已知数值，得：
$\frac{1}{2} × 15 × 20 = \frac{1}{2} × 25 × CD$，
化简得：
$15 × 20 = 25 × CD$，
$CD = \frac{15 × 20}{25} = 12$，
所以$CD$的长为$12$。

12. 【数学应用】如图,身高为$1.6\ m$的小明($AB$)想利用“勾股定理”计算出风筝的高度$CE$,已知他测得$BD的长度为25\ m$,并根据手中剩余线的长度计算出风筝线$BC的长为65\ m$。求风筝的高度$CE$。

答案： 解：由题意知，四边形ABDE为矩形，
所以AB=DE=1.6m，BD=AE=25m，∠CDB=90°。
在Rt△CBD中，∠CDB=90°，BC=65m，BD=25m，
根据勾股定理得：CD²+BD²=BC²，
即CD²+25²=65²，
CD²=65²-25²=(65-25)(65+25)=40×90=3600，
所以CD=60m（负值舍去）。
因为CE=CD+DE，
所以CE=60+1.6=61.6m。
答：风筝的高度CE为61.6m。

13. 【数学文化】2002年8月,国际数学家大会在北京举行,这是21世纪全世界数学家的一次大聚会,这次大会会标的主要图案就取材于我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图(如图所示),这充分肯定了我国数学的成就,也弘扬了我国古代的数学文化。弦图是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。若大正方形的面积是$13$,小正方形的面积是$1$,直角三角形中较短的直角边的长度为$a$,较长的直角边的长度为$b$,请求出$(a + b)^{2}$的值。

答案： 25