《2025年同步练习册北京师范大学出版社八年级数学上册北师大版》

8. 图①、图②均为长方形,则在图①中,$a$所满足的等式是$a^2 = 9^2 + 12^2$,$a$是一个有理数(填“有理数”或“无理数”)；在图②中,$a$所满足的等式是$a^2 = 2^2 + 3^2$,$a$是一个无理数(填“有理数”或“无理数”)。

答案： $a^2 = 9^2 + 12^2$；有理数；$a^2 = 2^2 + 3^2$；无理数

9. 把下列各数写入相应的集合中：
$0$,$3$,$2.75$,$-6$,$0.8$,$\frac{\pi}{4}$,$1.212 121…$,$\frac{22}{7}$,$0.101 001 000 1…$(相邻两个$1之间0的个数逐次加1$)。
(1)有理数集合：…$\{\}$；
(2)整数集合：…$\{\}$；
(3)正数集合：…$\{\}$；
(4)分数集合：…$\{\}$。

答案：
(1)有理数集合：$\{0, 3, 2.75, -6, 0.8, 1.212121…, \frac{22}{7}\}$；
(2)整数集合：$\{0, 3, -6\}$；
(3)正数集合：$\{3, 2.75, 0.8, \frac{\pi}{4}, 1.212121…, \frac{22}{7}, 0.1010010001…\}$；
(4)分数集合：$\{2.75, 0.8, 1.212121…, \frac{22}{7}\}$。

10. 某地为发展渔业,要挖一个长方体形的鱼塘。已知鱼塘的长是宽的$2$倍,面积是$1 600 m^{2}$,则鱼塘的宽大约是多少米？(结果精确到$1 m$)

答案： 设鱼塘的宽为$x$米，则长为$2x$米。
根据长方形面积公式，有：
$x × 2x = 1600$，
$2x^{2} = 1600$，
$x^{2} = 800$，
由于$x$为宽度，取正值，所以：
$x = \sqrt{800} \approx 28$，
答：鱼塘的宽大约是$28$米。

11. 【数学文化】公元前$5$世纪,古希腊毕达哥拉斯学派的一个成员希帕索斯发现,一些数不能用整数之比来表示,如边长为$1$的正方形的对角线的长就无法用整数或整数之比来表示。这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条,引起了信徒们的恐慌。据说,希帕索斯为此被投入了大海。
毕达哥拉斯学派的发现,第一次向人们揭示了有理数的缺陷,证明它不能同连续的无限直线同等看待,有理数并没有布满数轴上的点,在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”,这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”。$15$世纪意大利著名画家达·芬奇称之为“无理的数”,$17$世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。然而,真理毕竟是湮没不了的,毕达哥拉斯学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希帕索斯这位为真理而献身的可敬学者,就把不可通约的量取名为“无理数”——这便是“无理数”的由来。
同学们,你们能发现身边的无理数吗？
如图,在下面的正方形网格中,每个小正方形的边长都是$1$,每个小格的顶点都叫作格点,以格点为顶点,分别按下列要求画图。
(1)在图①中,画出一个三角形,使它的三边长都是有理数；
(2)在图②中,画出一个直角三角形,使它的三边长都是无理数；
(3)在图③中,画一个正方形,使它的面积为$10$。

答案： （1）连接格点(0,0)，(3,0)，(0,4)，得到三边长分别为3，4，5的三角形（答案不唯一）。
（2）连接格点(0,0)，(1,2)，(3,1)，得到直角三角形，三边长分别为√5，√5，√10（答案不唯一）。
（3）连接格点(1,0)，(4,1)，(3,4)，(0,3)，得到面积为10的正方形（答案不唯一）。