《2025年同步练习册北京师范大学出版社八年级数学上册北师大版》

13. 计算下列各式：
$\sqrt{(-2)^{2}}=$2；$\sqrt{(\frac{2}{3})^{2}}=$$\frac{2}{3}$；$\sqrt{0^{2}}=$0；$\sqrt{(-7)^{2}}=$7；$(\sqrt{25})^{2}=$25；$(\sqrt{9})^{2}=$9；$(\sqrt{\frac{9}{16}})^{2}=$$\frac{9}{16}$；$(\sqrt{3})^{2}=$3；$\sqrt{a^{2}}=$$|a|$；$(\sqrt{a})^{2}=$$a(a\geq0)$。

答案： 2；$\frac{2}{3}$；0；7；25；9；$\frac{9}{16}$；3；$|a|$；$a(a\geq0)$

14. 求一个正数的算术平方根,有些数可以直接求得,如$4的算术平方根是\sqrt{4}= 2$,有些数则不能直接求得,如$5的算术平方根是\sqrt{5}$,但可以通过计算器求得,还可以通过一组数的内在联系,运用规律求得。请同学们观察下表：
| $n$ | …$$ | $0.0009$ | $0.09$ | $9$ | $900$ | $90000$ | …$$ |
| $\sqrt{n}$ | …$$ | 0.03 | $0.3$ | $3$ | $30$ | 300 | …$$ |

(1) 根据表中所给的信息,观察规律,并将表格填写完整。
(2) 运用你发现的规律,探究下列问题：已知$\sqrt{2.06}\approx1.435$,求下列各数的算术平方根：
① $0.0206$； ② $206$； ③ $20600$。
(2) ① $\sqrt{0.0206}\approx0.1435$ ② $\sqrt{206}\approx14.35$ ③ $\sqrt{20600}\approx143.5$

答案：
(1) 0.03；300
(2) ① $\sqrt{0.0206}\approx0.1435$
② $\sqrt{206}\approx14.35$
③ $\sqrt{20600}\approx143.5$

15. 【数学应用】先阅读下面提供的材料,再解答相应的问题：
若$\sqrt{x - 1}和\sqrt{1 - x}$都有意义,则$x$的值是多少？
解：因为$\sqrt{x - 1}和\sqrt{1 - x}$都有意义,所以$x - 1\geqslant0且1 - x\geqslant0$。又因为$x - 1和1 - x$互为相反数,而两非负数互为相反数的数只有$0$,所以$x - 1 = 0且1 - x = 0$,所以$x = 1$。
问题：若$y= \sqrt{2x - 1}+\sqrt{1 - 2x}+2$,则$x^{y}$的值是多少？

答案： 根据题意，因为$\sqrt{2x - 1}$和$\sqrt{1 - 2x}$都有意义，
所以：
$2x - 1 \geqslant 0$，
$1 - 2x \geqslant 0$。
由于$2x - 1$和$1 - 2x$互为相反数，且两非负数互为相反数只有当它们都为0时才成立，所以：
$2x - 1 = 0$，
$1 - 2x = 0$。
解得：
$x = \frac{1}{2}$。
将$x = \frac{1}{2}$代入原式$y= \sqrt{2x - 1}+\sqrt{1 - 2x}+2$，得：
$y = \sqrt{2 × \frac{1}{2} - 1} + \sqrt{1 - 2 × \frac{1}{2}} + 2 = 0 + 0 + 2 = 2$。
最后计算$x^y$的值：
$x^y = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$。