《2025年同步练习册北京师范大学出版社八年级数学上册北师大版》

8. 如图,三角形是有规律地从里到外逐层排列的,设 $ y $ 为第 $ n $ 层($ n $ 为正整数)三角形的个数,则下列关系式中正确的是(B)。

A.$ y = 4n - 4 $
B.$ y = 4n $
C.$ y = 4n + 4 $
D.$ y = n^2 $

答案： B

9. 若函数 $ y = (m - 2)x^{|m| - 1} $ 是一次函数,则 $ m = $ $-2$。

答案： $-2$

10. 一个长方形的周长为 $ 24 $,设它的一条边长为 $ x $,那么它的面积 $ y $ 与 $ x $ 之间的关系式为$ y = -x^2 + 12x $,这个函数不是(填“是”或“不是”)一次函数。

答案： $ y = -x^2 + 12x $，不是

11. 已知函数 $ y = (m - 3)x^{3 - |m|} + m + 2 $,当 $ m = $ -2时,$ y $ 是 $ x $ 的正比例函数；当 $ m = $ 2 或 -2时,$ y $ 是 $ x $ 的一次函数。

答案： -2；2 或 -2

12. 【数学应用】一旅游团来到某旅游景点,看到售票处旁边的公告栏如下图所示,请根据公告栏的内容,回答下列问题：

(1) 若该旅游团人数为 $ 9 $,门票费用是多少？若该旅游团人数为 $ 30 $,门票费用又是多少？
(2) 设该旅游团人数为 $ x $,写出该旅游团门票费用 $ y $(元)与人数 $ x $ 之间的关系式(直接填写在下面的横线上)。


(1) 当旅游团人数为 9 时，因为 9 ≤ 10，每张门票 180 元，所以门票费用为 9 × 180 = 1620 元。当旅游团人数为 30 时，前 10 张门票费用为 10 × 180 = 1800 元，超过 10 张的部分有 30 - 10 = 20 张，这 20 张每张享受六折优惠，即每张 180 × 0.6 = 108 元，这部分费用为 20 × 108 = 2160 元，所以总门票费用为 1800 + 2160 = 3960 元。
(2) $y = \begin{cases} 180x (x = 0,1,2,\cdots,10) \\ 108x + 720 (x ＞ 10,且 x 为整数) \end{cases}$

答案：
(1) 当旅游团人数为 $9$ 时，因为 $9 \leq 10$，每张门票 $180$ 元，所以门票费用为 $9 × 180 = 1620$ 元。
当旅游团人数为 $30$ 时，前 $10$ 张门票费用为 $10 × 180 = 1800$ 元，超过 $10$ 张的部分有 $30 - 10 = 20$ 张，这 $20$ 张每张享受六折优惠，即每张 $180 × 0.6 = 108$ 元，这部分费用为 $20 × 108 = 2160$ 元，所以总门票费用为 $1800 + 2160 = 3960$ 元。
(2) $y = \begin{cases} 180x (x = 0,1,2,\cdots,10) \\ 108x + 720 (x ＞ 10,且 x 为整数) \end{cases}$

13. 【数学应用】星期天,张老师提着篮子(篮子的质量为 $ 0.5 \, kg $)去集市买 $ 10 \, kg $ 鸡蛋,当张老师往篮子里拾称好的鸡蛋时,发现比过去买 $ 10 \, kg $ 鸡蛋的数量少了很多,于是她将鸡蛋装进篮子再让摊主一起称,共称得 $ 10.55 \, kg $,她立刻要求摊主退 $ 1 \, kg $ 鸡蛋的钱,她是怎样知道摊主少称了鸡蛋呢？请将分析过程写出来。由此你得到什么启示？(请用一至两句话,简要叙述出来)

答案： 设摊主称出的重量为$ M $，实际重量与称出重量的比例系数为$ x $（$ x ＜ 1 $，因秤不准导致实际重量偏小）。
1. 鸡蛋实际重量：摊主称出鸡蛋$ 10\ kg $，则鸡蛋实际重量为$ 10x\ kg $。
2. 总实际重量：篮子实际重量$ 0.5\ kg $，故鸡蛋与篮子总实际重量为$ 10x + 0.5\ kg $。
3. 联合称重关系：一起称时摊主称出$ 10.55\ kg $，其实际重量为$ 10.55x\ kg $。因此：
$ 10x + 0.5 = 10.55x $
解得$ 0.55x = 0.5 $，$ x = \frac{0.5}{0.55} = \frac{10}{11} $。
4. 鸡蛋实际重量计算：鸡蛋实际重量为$ 10x = 10 × \frac{10}{11} = \frac{100}{11} \approx 9.09\ kg $。
5. 少称重量：$ 10 - \frac{100}{11} = \frac{10}{11} \approx 1\ kg $。
启示：利用已知重量的物体可检验秤的准确性。