《2025年同步练习册北京师范大学出版社八年级数学上册北师大版》

8. 在如图所示的计算程序中,$ y $ 与 $ x $ 之间的函数图象应为(D)。

答案： D

9. 在同一平面直角坐标系内,一次函数 $ y = ax + b $ 与 $ y = bx + a $ 的图象可能是(B)。

答案： B

10. 已知直线 $ y = (1 - 3k)x + 2k - 1 $。
(1) 当 $ k $ 为何值时,直线过原点？
(2) 当 $ k $ 为何值时,直线与 $ y $ 轴的交点坐标是 $(0,-2)$？
(3) 当 $ k $ 为何值时,直线与 $ x $ 轴交于点 $ \left(\dfrac{3}{4},0\right) $？
(4) 当 $ k $ 为何值时,该直线与直线 $ y = -3x - 5 $ 平行？

答案： （1）因为直线过原点，所以当$x=0,y=0$，代入直线方程$y=(1-3k)x+2k-1$，得：
$0=(1-3k)× 0+2k-1$，
即：
$2k-1=0$，
解得：
$k=\frac{1}{2}$。
所以当$k=\frac{1}{2}$时，直线过原点。
（2）因为直线与$y$轴的交点坐标是$(0,-2)$，所以当$x=0$时，$y=-2$，代入直线方程$y=(1-3k)x+2k-1$，得：
$-2=(1-3k)× 0+2k-1$，
即：
$2k-1=-2$，
解得：
$k=-\frac{1}{2}$。
所以当$k=-\frac{1}{2}$时，直线与$y$轴的交点坐标是$(0,-2)$。
（3）因为直线与$x$轴交于点$\left(\frac{3}{4},0\right)$，所以当$x=\frac{3}{4}$时，$y=0$，代入直线方程$y=(1-3k)x+2k-1$，得：
$0=(1-3k)× \frac{3}{4}+2k-1$，
化简得：
$\frac{3}{4}-\frac{9}{4}k+2k-1=0$，
即：
$-\frac{1}{4}k-\frac{1}{4}=0$，
解得：
$k=-1$。
所以当$k=-1$时，直线与$x$轴交于点$\left(\frac{3}{4},0\right)$。
（4）因为该直线与直线$y=-3x-5$平行，所以两直线的斜率相等，即：
$1-3k=-3$，
解得：
$k=\frac{4}{3}$。
所以当$k=\frac{4}{3}$时，该直线与直线$y=-3x-5$平行。

11. 【综合与实践】阅读下面的材料：
在平面几何中,我们学过两条直线平行的定义。下面就两个一次函数的图象,给出它们平行的定义：设一次函数 $ y = k_1x + b_1(k_1 \neq 0) $ 的图象为直线 $ l_1 $,一次函数 $ y = k_2x + b_2(k_2 \neq 0) $ 的图象为直线 $ l_2 $,若 $ k_1 = k_2 $ 且 $ b_1 \neq b_2 $,我们就称直线 $ l_1 $ 与直线 $ l_2 $ 互相平行。已知一次函数 $ y = -2x $ 的图象为直线 $ l_1 $,过点 $ P(1,4) $ 且与已知直线 $ l_1 $ 平行的直线为 $ l_2 $。
解答下面的问题：
(1) 求 $ l_2 $ 对应的函数表达式；
(2) 设直线 $ l_2 $ 与 $ y $ 轴、$ x $ 轴分别交于点 $ A $,$ B $,过坐标原点 $ O $ 作 $ OC \perp AB $,垂足为 $ C $,求 $ l_1 $ 和 $ l_2 $ 之间的距离；
(3) 在 (2) 的情况下,若 $ Q $ 为线段 $ OA $ 上一动点,求 $ QP + QB $ 的长度的最小值,并求取得最小值时点 $ Q $ 的坐标；
(4) 在 (2) 的情况下,在 $ x $ 轴上找一点 $ M $,使 $ \triangle BMP $ 是以 $ PB $ 为腰的等腰三角形,请直接写出点 $ M $ 的坐标。

答案：
(1)设$ l_2 $的表达式为$ y = -2x + b $，将$ P(1,4) $代入得$ 4 = -2×1 + b $，解得$ b = 6 $，故$ l_2 $：$ y = -2x + 6 $。
(2)$ l_2 $与$ y $轴交于$ A(0,6) $，与$ x $轴交于$ B(3,0) $。$ OA=6 $，$ OB=3 $，$ AB = \sqrt{3^2 + 6^2} = 3\sqrt{5} $。$ S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2}×6×3 = 9 = \frac{1}{2}×3\sqrt{5}×OC $，解得$ OC = \frac{6\sqrt{5}}{5} $，即距离为$ \frac{6\sqrt{5}}{5} $。
(3)作$ B(3,0) $关于$ y $轴的对称点$ B'(-3,0) $，直线$ PB' $的表达式为$ y = x + 3 $，与$ y $轴交于$ Q(0,3) $。$ QP + QB = PB' = \sqrt{(1 + 3)^2 + (4 - 0)^2} = 4\sqrt{2} $。最小值为$ 4\sqrt{2} $，$ Q(0,3) $。
(4)①$ PB = BM $：$ |m - 3| = 2\sqrt{5} $，$ M(3 + 2\sqrt{5},0) $或$ (3 - 2\sqrt{5},0) $；②$ PB = PM $：$ (m - 1)^2 + 16 = 20 $，解得$ m = -1 $（$ m = 3 $舍去），$ M(-1,0) $。综上，$ M(-1,0) $，$ (3 + 2\sqrt{5},0) $，$ (3 - 2\sqrt{5},0) $。