《2025年同步练习册北京师范大学出版社八年级数学上册北师大版》

8. 已知方程$2x + 1 = - x + 4的解是x = 1$,则直线$y = 2x + 1与直线y = - x + 4$的交点坐标是(B)。
A.$(1,0)$
B.$(1,3)$
C.$( - 1, - 1)$
D.$( - 1,5)$

答案： B

9. 方程组$\begin{cases}x + 2y = 1,\\2x + 4y = 3\end{cases} $的解的情况是(C)。
A.一个解
B.两个解
C.无解
D.无数个解

答案： C

10. 如图,直线$l_{1}:y = x + 1与直线l_{2}:y = mx + n相交于点P(1,b)$。
(1)求$b$的值。
(2)不解关于$x$,$y的方程组\begin{cases}y = x + 1,\\y = mx + n,\end{cases} $请直接写出它的解。
(3)直线$l_{3}:y = nx + m是否也经过点P$？请说明理由。

答案：
(1) 因为点 $P(1, b)$ 在直线 $l_{1}: y = x + 1$ 上，将 $x = 1$ 代入方程：
$b = 1 + 1 = 2$，
所以，$b = 2$。
(2) 方程组$\begin{cases}y = x + 1, \\y = mx + n.\end{cases}$
的解即为两直线的交点坐标。
已知交点为 $P(1, b)$，且 $b = 2$，所以方程组的解为：
$\begin{cases}x = 1, \\y = 2.\end{cases}$
(3) 因为点 $P(1, 2)$，将点 $P(1, 2)$ 代入$y = nx + m$，得：
$2 = n + m$，
由点$P(1,2)$在直线$l_2:y=mx+n$上，可得：
$2=m+n$，
等式成立，
所以直线 $l_{3}: y = nx + m$ 也经过点 $P$。

11.【数学应用】图①是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图,乙槽中有一圆柱形铁块立放其中(圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上)。现将甲槽中的水匀速注入乙槽,甲、乙两个水槽中水的深度$y(cm)与注水时间x(min)$之间的关系如图②所示。根据图象提供的信息,解答下列问题：
(1)图②中折线$ABC$表示______槽中水的深度$y(cm)与注水时间x(min)$之间的关系,线段$DE$表示______槽中水的深度$y(cm)与注水时间x(min)$之间的关系(以上两空选填“甲”或“乙”),点$B$的纵坐标表示的实际意义是______。
(2)注水多长时间时,甲、乙两个水槽中水的深度相同？
(3)若乙槽底面积为$36\ cm^{2}$(壁厚不计),求乙槽中铁块的体积。

(1)图②中折线$ABC$表示乙槽中水的深度$y(cm)与注水时间x(min)$之间的关系,线段$DE$表示甲槽中水的深度$y(cm)与注水时间x(min)$之间的关系(以上两空选填“甲”或“乙”),点$B$的纵坐标表示的实际意义是乙槽内圆柱形铁块的高度。
(2)注水多长时间时,甲、乙两个水槽中水的深度相同？
2min
(3)若乙槽底面积为$36\ cm^{2}$(壁厚不计),求乙槽中铁块的体积。
84cm³

答案：
(1)乙；甲；乙槽内圆柱形铁块的高度。
(2)设DE的解析式为y=kx+b，D(0,12)，E(6,0)，得b=12，6k+12=0，k=-2，
∴DE：y=-2x+12。
设AB的解析式为y=mx+n，A(0,2)，B(4,14)，得n=2，4m+2=14，m=3，
∴AB：y=3x+2。
联立-2x+12=3x+2，5x=10，x=2。
(3)甲槽6分钟放完水，初始深度12cm，设甲槽底面积S甲，每分钟注水量为(S甲×12)/6=2S甲。
BC段：2分钟上升5cm，注水量=2×2S甲=4S甲=36×5=180，
∴4S甲=180，S甲=45。
AB段：4分钟上升12cm，注水量=4×2×45=360=(36 - S铁)×12，36 - S铁=30，S铁=6。
铁块高度14cm，体积=6×14=84cm³。
(1)乙；甲；乙槽内圆柱形铁块的高度。
(2)2min。
(3)84cm³。