《2025年同步练习册北京师范大学出版社八年级数学上册北师大版》

8. 在新年晚会的投飞镖游戏环节中,5名同学的投掷成绩(单位：环)分别是7,8,7,10,8,则这组数据的离差平方和是6,方差为1.2。

答案： 6,1.2

9. 小明用$s^{2}= \frac{1}{10}[(x_{1}-3)^{2}+(x_{2}-3)^{2}+…+(x_{10}-3)^{2}]$计算一组数据的方差,那么$x_{1}+x_{2}+x_{3}+…+x_{10}= $30。

答案： 30

10. 已知样本数据$x_{1},x_{2},…,x_{n}$的平均数是5,方差是4,则数据$2x_{1}+3$,$2x_{2}+3$,…,$2x_{n}+3$的平均数为13,方差为16。

答案： 设原样本数据的平均数为$\overline{x}=5$，方差为$s^2 =4$，数据变换形式为$y_i=2x_i+3$，
对于平均数：新数据的平均数为$\overline{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(2x_i+3)=2\overline{x}+3$，
代入$\overline{x}=5$，得$\overline{y}=2×5+3=13$，
对于方差：新数据的方差为$s_y^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i-\overline{y})^2$，
由于$y_i-\overline{y}=2x_i+3-(2\overline{x}+3)=2(x_i-\overline{x})$，
所以$s_y^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}[2(x_i-\overline{x})]^2=4s^2$，
代入$s^2=4$，得$s_y^2=4×4=16$，
所以，新数据的平均数为 13，方差为 16。

11. 如图所示的是某市连续5天的天气情况。日期5月25日5月26日5月27日5月28日5月29日天气现象大雨中雨晴晴多云最高气温23${\hspace{0pt}}^{\circ }C$25${\hspace{0pt}}^{\circ }C$23${\hspace{0pt}}^{\circ }C$25${\hspace{0pt}}^{\circ }C$24${\hspace{0pt}}^{\circ }C$最低气温21${\hspace{0pt}}^{\circ }C$22${\hspace{0pt}}^{\circ }C$15${\hspace{0pt}}^{\circ }C$15${\hspace{0pt}}^{\circ }C$17${\hspace{0pt}}^{\circ }C$空气质量良优优优良

(1)利用方差判断该市这5天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大；
(2)根据图中提供的信息,请再写出两个不同类型的结论。

答案：
(1)
最高气温数据：23,25,23,25,24
最高气温平均数：$\overline{x}_高=\frac{23+25+23+25+24}{5}=24(^{\circ}C)$
最高气温方差：$S_高^2=\frac{(23-24)^2+(25-24)^2+(23-24)^2+(25-24)^2+(24-24)^2}{5}=\frac{1+1+1+1+0}{5}=0.8$
最低气温数据：21,22,15,15,17
最低气温平均数：$\overline{x}_低=\frac{21+22+15+15+17}{5}=18(^{\circ}C)$
最低气温方差：$S_低^2=\frac{(21-18)^2+(22-18)^2+(15-18)^2+(15-18)^2+(17-18)^2}{5}=\frac{9+16+9+9+1}{5}=8.8$
因为$8.8＞0.8$，所以日最低气温波动大。
(2)
①这5天中空气质量为优的有3天，良的有2天；
②雨天（25日、26日）的最低气温（21℃、22℃）高于晴天（27日、28日）的最低气温（15℃、15℃）。

12. 某校举办了一次趣味数学竞赛,满分100分,学生得分均为整数,成绩达到60分及以上为合格,达到90分及以上为优秀。这次竞赛中,甲、乙两组学生成绩如下：
甲组：30,60,60,60,60,60,70,90,90,100；
乙组：50,60,60,60,70,70,70,70,80,90。
(1)根据以上成绩得到的统计分析表中$a=$60分,$b=$68分,$c=$70分。组别平均数众数方差合格率优秀率甲组68分$a$37630%乙组$b$$c$90%

(2)计算乙组学生成绩的方差和优秀率,如果你是该校数学竞赛的教练员,现在需要你选一组同学代表学校参加复赛,你会选择哪一组？请说明理由。
乙组方差：
$\begin{aligned}\bar{x}_乙&=68\\s^2_乙&=\frac{1}{10}[(50-68)^2+3×(60-68)^2+4×(70-68)^2+(80-68)^2+(90-68)^2]\\&=\frac{1}{10}[324+3×64+4×4+144+484]\\&=\frac{1}{10}×1160=116\end{aligned}$
乙组优秀率：$\frac{1}{10}×100\%=10\%$
选择乙组，理由：乙组方差较小，成绩更稳定。

答案：
(1)60；68；70
(2)乙组方差：
$\begin{aligned}\bar{x}_乙&=68\\s^2_乙&=\frac{1}{10}[(50-68)^2+3×(60-68)^2+4×(70-68)^2+(80-68)^2+(90-68)^2]\\&=\frac{1}{10}[324+3×64+4×4+144+484]\\&=\frac{1}{10}×1160=116\end{aligned}$
乙组优秀率：$\frac{1}{10}×100\%=10\%$
选择乙组，理由：乙组方差较小，成绩更稳定。