《2025年金钥匙提优训练课课练八年级数学上册苏科版徐州专版》

1. (新考向·数学文化)我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理,体现了我国古代的数学成就. 如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形. 直角三角形的斜边长为 13,一条直角边长为 12,则小正方形 $ABCD$ 的面积是(C)


A.25
B.36
C.49
D.64

答案： 1. C

2. (新情境·日常生活)为了强化实践育人,有效开展劳动教育和综合实践活动,某校校园里现有一块四边形的空地 $ABCD$, 如图所示, 学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地. 经学校课外实践活动小组测量得到: $\angle BAD = 90^{\circ}$, $AD = 3m$, $AB = 4m$, $BC = 13m$, $CD = 12m$. 根据你所学过的知识解决以下问题:
(1) 求证: $\angle BDC = 90^{\circ}$;
(2) 求四边形 $ABCD$ 的面积.

答案： 2.
(1) $\because \angle BAD = 90°$, $AD = 3\ m$, $AB = 4\ m$, $\therefore BD = \sqrt{AD^2 + AB^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5(m)$. $\because BC = 13\ m$, $CD = 12\ m$, $\therefore BD^2 + CD^2 = 5^2 + 12^2 = 169(m^2)$, $BC^2 = 13^2 = 169(m^2)$. $\therefore BD^2 + CD^2 = BC^2$. $\therefore \triangle BCD$ 是直角三角形. $\therefore \angle BDC = 90°$.
(2) 四边形 $ABCD$ 的面积 $= \triangle ABD$ 的面积 $+ \triangle BCD$ 的面积 $= \frac{1}{2} AD \cdot AB + \frac{1}{2} BD \cdot CD = \frac{1}{2} × 3 × 4 + \frac{1}{2} × 5 × 12 = 6 + 30 = 36(m^2)$.

3. 如图, 经过 $A$ 村和 $B$ 村(将 $A$, $B$ 村看成直线 $l$ 上的点) 的笔直公路 $l$ 旁有一块山地正在开发, 现需要在点 $C$ 处进行爆破. 已知点 $C$ 处与 $A$ 村的距离为 900 米, 点 $C$ 处与 $B$ 村的距离为 1200 米,且 $AC \perp BC$.
(1) 求 $A$, $B$ 两村之间的距离.
(2) 求点 $C$ 到直线 $l$ 的距离.
(3) 为了安全起见, 爆破点 $C$ 周围半径 750 米范围内不得进入, 在进行爆破时, $A$, $B$ 两村间的公路是否有危险而需要封锁? 如果需要, 请计算需要封锁的路段长度; 如果不需要, 请说明理由.

答案：
3.
(1) 在 $Rt \triangle ABC$ 中, $AC = 900$ 米, $BC = 1200$ 米, $\therefore AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{900^2 + 1200^2} = 1500$ 米, 即 $A$, $B$ 两村之间的距离为 $1500$ 米.
(2) 如图, 过点 $C$ 作 $CD \perp AB$ 于点 $D$. $\because S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot CD = \frac{1}{2} BC \cdot AC$, $\therefore CD = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{900 × 1200}{1500} = 720$ 米, 即点 $C$ 到直线 $l$ 的距离为 $720$ 米.
(3) $A$, $B$ 两村间的公路有危险而需要封锁. $\because 720 ＜ 750$, $\therefore$ 有危险. $\therefore A$, $B$ 两村间的公路需要封锁. 如图, 以点 $C$ 为圆心, $750$ 米为半径画弧, 交 $AB$ 于点 $E$, $F$, 连接 $CE$, $CF$, $\therefore EC = FC = 750$ 米. $\therefore ED = \sqrt{750^2 - 720^2} = 210$ 米. $\because \triangle CEF$ 是等腰三角形, $\therefore DE = DF = \frac{1}{2} EF$. $\therefore EF = 2DE = 420$ 米, 即需要封锁的路段长度为 $420$ 米.