《2025年金钥匙提优训练课课练八年级数学上册苏科版徐州专版》

7. 如图，$OB = BA_{1}=A_{1}A_{2}=A_{2}A_{3}=A_{3}A_{4}=\cdots = A_{2024}A_{2025}=1$，$\angle OBA_{1}=\angle OA_{1}A_{2}=\angle OA_{2}A_{3}=\cdots =\angle OA_{2024}A_{2025}=90^{\circ}$，则线段$OB$，$OA_{1}$，$OA_{2}$，$OA_{3}$，$OA_{4}$，$\cdots$，$OA_{2024}$，$OA_{2025}$中，长度为无理数的线段有1981条。

答案： 7.1981

8. 如图，$\triangle ABC$是等腰直角三角形，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$\angle EAF = 45^{\circ}$，求证：$BE^{2}+CF^{2}=EF^{2}$。

答案：
8.
∵ △ABC是等腰直角三角形，∠BAC = 90°，
∴ ∠ABC = ∠C = 45°。如图，把△ACF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连接EG，则∠GAF = 90°，AG = AF，BG = CF，∠ABG = ∠ACF = 45°。
∴ ∠GBE = ∠ABG + ∠ABC = 90°。
∵ ∠GAF = 90°，
∴ ∠GAE = ∠EAF = 45°。在△AEG和△AEF中，
$\begin{cases}$
AG = AF, \\
∠GAE = ∠FAE, \\
AE = AE,
$\end{cases}$
∴ △AEG ≌ △AEF (SAS)。
∴ EF = EG。又
∵ AE = AE，
∵ ∠GBE = 90°，
∴$ BE^{2} + BG^{2} = EG^{2}。$
∴$ BE^{2} + CF^{2} = EF^{2}$

9. (新视角·探究题)【问题提出】如图①，在$Rt\triangle ABC$中，AB=AC，D为BC边上一点(不与点B，C重合)，以AD为直角边在AD右侧做等腰直角三角形ADE，连接EC。
(1)$\angle ECD$的度数为90°。
(2)线段BC，DC，EC之间有怎样的数量关系？并说明理由。
【类比探究】如图②，若点D在BC边的延长线上，其他条件不变。
(3)试探究线段BD，DC，DE之间满足的数量关系，并说明理由。

答案： 9.
(1)90°　解析:
∵在Rt△ABC中,AB = AC,
∴∠B = ∠ACB = 45°。
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AE = AD，∠DAE = 90° = ∠BAC。
∴∠BAD = ∠CAE = 90° - ∠CAD。
∴△ABD ≌ △ACE。
∴ ∠ACE = ∠B = 45°。
∴∠ECD = ∠ACB + ∠ACE = 90°。
(2)BC = DC + EC　理由:由
(1)知,△ABD ≌ △ACE,
∴CE = BD。
∵BC = DC + BD,
∴BC = DC + EC。$　(3)BD^{2} + CD^{2} = DE^{2}　$理由:
∵AB = AC,AE = AD,∠BAD = ∠CAE = 90° + ∠CAD,
∴△ABD ≌ △ACE。
∴∠ACE = ∠B = 45°,CE = BD。
∴∠ECB = ∠ACB + ∠ACE = 90°。
∴∠ECD = 90°。在Rt△ECD中,由勾股定理,得$CE^{2} + CD^{2} = DE^{2},$
∴$BD^{2} + CD^{2} = DE^{2}。$