《2025年金钥匙提优训练课课练八年级数学上册苏科版徐州专版》

10. (2024·贾汪期中改编)如图，$AD$为$△ABC$的高，$E$为$AC$上一点，$BE$交$AD$于点$F$，且有$BF=AC$，$FD=CD$.
（1）求证：$Rt△BFD≌Rt△ACD$；
（2）求$∠AEB$的度数.

答案： 10.
(1)
∵ AD为△ABC的高，
∴ AD⊥BC.
∴ ∠BDF = ∠ADC = 90°. 在Rt△BFD和Rt△ACD中，$\begin{cases}BF = AC,\\FD = CD,\end{cases}$
∴ Rt△BFD≌Rt△ACD(HL)　
(2)
∵ Rt△BFD≌Rt△ACD，
∴ ∠DBF = ∠DAC.
∵ ∠FAE + ∠AEB + ∠EFA = 180°，∠DBF + ∠BDF + ∠BFD = 180°，∠BFD = ∠EFA，
∴ ∠AEB = ∠BDF = 90°

11. (新视角·过程性学习)【问题提出】学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.
【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示：在$△ABC$和$△DEF$中，$AC=DF$，$BC=EF$，$∠B=∠E$，然后对$∠B$进行分类，可分为“$∠B$是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.
【深入探究】(1)当$∠B$是直角时，如图①，在$△ABC$和$△DEF$中，$AC=DF$，$BC=EF$，$∠B=∠E=90^{\circ }$，根据HL，可以知道$Rt△ABC≌Rt△DEF$.
(2)当$∠B$是钝角时，如图②，在$△ABC$和$△DEF$中，$AC=DF$，$BC=EF$，$∠B=∠E$，且$∠B$，$∠E$都是钝角，求证：$△ABC≌△DEF$(提示：过点$C$作$CG⊥AB$交$AB$的延长线于点$G$，过点$F$作$FH⊥DE$交$DE$的延长线于点$H$).
(3)当$∠B$是锐角时，在$△ABC$和$△DEF$中，$AC=DF$，$BC=EF$，$∠B=∠E$，且$∠B$，$∠E$都是锐角，请你利用图③，在图③中用尺规作出$△DEF$，使$△DEF$和$△ABC$不全等.
【得出结论】(4)通过以上对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形的研究，你能得出什么结论？

答案：
11.
(1)HL　
(2)如图①,过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G,过点F作FH⊥DE交DE的延长线于点H.
∵ ∠ABC = ∠DEF，
∴ 180° - ∠ABC = 180° - ∠DEF，即∠CBG = ∠FEH. 在△CBG和△FEH中，$\begin{cases}∠CBG = ∠FEH,\\∠G = ∠H,\\BC = EF,\end{cases}$
∴ △CBG ≌ △FEH (AAS).
∴ CG = FH. 在Rt△ACG和Rt△DFH中，$\begin{cases}AC = DF,\\CG = FH,\end{cases}$
∴ Rt△ACG ≌ Rt△DFH (HL).
∴ ∠A = ∠D. 在△ABC和△DEF中，$\begin{cases}∠A = ∠D,\\∠ABC = ∠DEF,\\AC = DF,\end{cases}$
∴ △ABC ≌ △DEF(AAS)　
(3)如图②,在△ABC和△DEF中,AC = DF,BC = EF,∠B = ∠E,满足了题目中的条件,但很明显，它们不全等　
(4)两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等，当这个角是直角或者钝角时，这两个三角形全等;当这个角是锐角时，这两个三角形不一定全等