《2025年金钥匙提优训练课课练八年级数学上册苏科版徐州专版》

9. (数形结合思想)在△ABC中,AB=AC,D为直线BC上任意一点,连接AD,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,BG为AC边上的高.
【探究】(1) 如图①,当点D在边BC上时,猜想DE,DF,BG之间的数量关系并证明;
【运用】(2) 如图②,当D为BC的中点时,BG与DE之间的数量关系为BG = 2DE;
【拓展】(3) 如图③,当点D在CB的延长线上时,DE,DF,BG之间的数量关系为DF = DE + BG.

答案： 9.
(1)猜想:BG = DE + DF　证明:
∵ S△ABC = S△ABD + S△ACD，
∴ $\frac{1}{2}$AC·BG = $\frac{1}{2}$AB·DE + $\frac{1}{2}$AC·DF.
∵ AB = AC，
∴ BG = DE + DF　
(2)BG = 2DE　
(3)DF = DE + BG

10. 已知有△ABC.
(1) 如图①,AI平分∠BAC,CI平分∠ACB,∠B=80°,求∠AIC的度数.
(2) 如图②,∠BCE是△ABC的外角,∠BCE,∠BAC的平分线交于点D,求∠B与∠D之间的数量关系.
(3) 如图③,∠BCE,∠HAC是△ABC的外角,∠BCE的平分线所在的直线与∠HAC,∠BAC的平分线分别交于点F,D.在△ADF中,如果∠F=3∠D,求∠B的度数.

答案：
10.
(1)
∵ ∠BAC + ∠BCA + ∠B = 180°，∠B = 80°，
∴ ∠BAC + ∠BCA = 180° - ∠B = 100°.
∵ AI 平分∠BAC，CI 平分∠ACB，
∴ ∠IAC = $\frac{1}{2}$∠BAC，∠ICA = $\frac{1}{2}$∠BCA.
∴ ∠IAC + ∠ICA = $\frac{1}{2}$(∠BAC + ∠BCA) = $\frac{1}{2}$×100° = 50°.
∵ ∠IAC + ∠ICA + ∠AIC = 180°，
∴ ∠AIC = 180° - (∠IAC + ∠ICA) = 180° - 50° = 130°　
(2)如图，设AD 与BC交于点H.
∵ CD，AD 分别是∠BCE，∠BAC 的平分线，
∴ ∠HCD = $\frac{1}{2}$∠BCE，∠BAH = $\frac{1}{2}$∠BAC.
∵ ∠HCD = $\frac{1}{2}$∠BCE = $\frac{1}{2}$(∠BAC + ∠B) = $\frac{1}{2}$∠BAC + $\frac{1}{2}$∠B = ∠BAH + $\frac{1}{2}$∠B，
∴ ∠D = 180° - (∠HCD + ∠CHD) = 180° - (∠HCD + ∠AHB) = 180° - ∠HCD - ∠AHB = 180° - (∠BAH + $\frac{1}{2}$∠B) - (180° - ∠BAH - ∠B) = 180° - ∠BAH - $\frac{1}{2}$∠B - 180° + ∠BAH + ∠B = $\frac{1}{2}$∠B.
∴ ∠B = 2∠D　
(3)
∵ AF 平分∠HAC，AD 平分∠BAC，
∴ ∠FAC = $\frac{1}{2}$∠HAC，∠DAC = $\frac{1}{2}$∠BAC.
∴ ∠DAF = ∠FAC + ∠DAC = $\frac{1}{2}$(∠HAC + ∠BAC) = $\frac{1}{2}$×180° = 90°.
∵ CD 平分∠BCE，AD 平分∠BAC，
∴ 由
(2)可知∠B = 2∠D.
∵ ∠DAF + ∠F + ∠D = 180°，∠F = 3∠D，
∴ 90° + 3∠D + ∠D = 180°.
∴ ∠D = 22.5°.
∴ ∠B = 2∠D = 45°