《2025年金钥匙提优训练课课练八年级数学上册苏科版徐州专版》

8. (易错题)如图，在$\triangle ABC$中，$\angle B=\angle C$，$AB=10\ cm$，$BC=6\ cm$，$D$是$AB$的中点，点$P$在线段$BC$上以$1\ cm/s$的速度由点$B$向点$C$运动，同时点$Q$在线段$CA$上由点$C$向点$A$运动。若两点在运动过程中$\triangle BPD$和$\triangle CQP$会出现全等的情况，则点$Q$的速度为$\frac{5}{3}$cm/s或1cm/s。

答案： 8. $\frac{5}{3}$cm/s或1cm/s　易错分析:易忽视分两种情况求解，即$\triangle BPD\cong\triangle CQP$和$\triangle BPD\cong\triangle CPQ$两种情况.

9. 如图，点$E$在$\triangle ABC$的边$AC$的延长线上，点$D$在边$AB$上，$DE$交$BC$于点$F$，$DF=EF$，$BD=CE$。求证：$\triangle ABC$是等腰三角形。

答案：
9. 如图，过点D作$DG// AC$交BC于点G. $\therefore$ $\angle GDF=\angle E$，$\begin{cases} \angle GDF = \angle E, \\ \angle DGB = \angle ACB. 在 \triangle GDF 和 \triangle CEF 中, \begin{cases} DF = EF, \\ \angle DFG = \angle EFC, \end{cases} \therefore \triangle GDF\cong\triangle CEF (ASA). \therefore GD=CE. \because BD=CE, \therefore BD=GD. \therefore \angle B=\angle DGB=\angle ACB. \therefore AB=AC. \therefore \triangle ABC$是等腰三角形

10. 【教材呈现】如图①，$AD$平分$\angle EAC$，$AD// BC$，易证$\triangle ABC$是等腰三角形。
【变式探究】(1) 如图②，把一张长方形纸沿对角线$AC$折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？
【形成经验】当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形。
【经验应用】(2) 如图③，$AD// BC$，$AD$平分$\angle EAC$，$CD$平分$\angle ACF$，试探究线段$AB$与线段$AD$之间的数量关系，并说明理由。
【拓展提升】(3) 如图④，在四边形$ABCD$中，$AD// BC$，$E$为$CD$的中点，且$AE$平分$\angle BAD$，连接$BE$，则线段$AD$，$BC$和$AB$之间的数量关系为$AB=AD+BC$。

答案：
10.
(1) 重合部分是一个等腰三角形. $\because$在长方形ABCD中，$DC// AB$，$\therefore$ $\angle ACD=\angle BAC$.由折叠的性质可得$\angle BAC = \angle B'AC$，$\therefore$ $\angle ACD = \angle B'AC$. $\therefore$ $AE = CE$. $\therefore$ $\triangle ACE$是等腰三角形
(2) $AB = AD$ 理由：如图，$\because$ $AD// BC$，$\therefore$ $\angle 1=\angle B$，$\angle 2=\angle 4$. $\because$ $AD$平分$\angle EAC$，$\therefore$ $\angle 1=\angle 2$. $\therefore$ $\angle B=\angle 4$. $\therefore$ $AB=AC$. $\because$ $AD// BC$，$\therefore$ $\angle D=\angle 5$. $\because$ $CD$平分$\angle ACF$，$\therefore$ $\angle 3=\angle 5$. $\therefore$ $\angle 3=\angle D$. $\therefore$ $AC=AD$. $\therefore$ $AB=AD$.
(3) $AB=AD+BC$