《2025年金钥匙提优训练课课练八年级数学上册苏科版徐州专版》

12. 求下列各式中 $x$ 的值:
(1) $125x^3 = 8$；
(2) $(-2 + x)^3 = -216$；
(3) $(\frac{x}{3})^3 = -512$；
(4) $3(x - 1)^3 = -81$。

答案： 12.
(1)$x=\frac{2}{5}$
(2)$x=-4$
(3)$x=-24$
(4)$x=-2$

13. 已知第一个正方体纸盒的棱长是 6 cm，第二个正方体纸盒的体积比第一个正方体纸盒的体积大 $127 cm^3$，求第二个正方体纸盒的棱长。

答案： 13. 设第二个正方体纸盒的棱长为$a$ cm.$\because$第一个正方体纸盒的棱长为6cm，第二个正方体纸盒的体积比第一个正方体纸盒的体积大127$cm^3$，$\therefore a^3-6^3=127$，解得$a=7$，即第二个正方体纸盒的棱长为7cm

14. (易错题)请利用所学过的平方根和立方根的知识解决以下问题:
(1) 一个正数 $m$ 的两个平方根分别为 $1 - 3a$ 和 $a + 5$，则这个正数 $m$ 的立方根为多少?
(2) 若实数 $5x + 19$ 的立方根是 4，则实数 $3x + 9$ 的平方根为多少?

答案： 14.
(1)由题意，得1-3a和a+5互为相反数，$\therefore1-3a+a+5=0.\therefore a=3.\therefore1-3a=1-3×3=-8$，$a+5=3+5=8.\therefore m=(-8)^2=8^2=64.\therefore\sqrt[3]{64}=4$
(2)$\because5x+19=4^3=64$，$\therefore x=9.\therefore3x+9=3×9+9=36$，即3x+9的平方根为$\pm6$易错分析：易忽略一个正数的平方根是一组互为相反数的数.

15. (新视角·探究题)据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题:一个数是 32 768，它是一个整数的立方，希望求它的立方根. 华罗庚不假思索给出了答案，邻座的乘客非常惊奇，忙问他用的是什么奥秘. 你知道华罗庚是怎样快速准确地计算出来的吗?
(1) 由 $10^3 = 1000$，$100^3 = 1000000$，$1000 ＜ 32768 ＜ 1000000$，∴ 知 $\sqrt[3]{32768}$ 是两位数。
(2) 由 32 768 的个位上的数字是 8，知 $\sqrt[3]{32768}$ 的个位上的数字是2；划去 32 768 后面的三位数 768 得到 32. ∵ $3^3 = 27$，$4^3 = 64$，∴ 可知 $\sqrt[3]{32768}$ 的十位上的数字是3。∴ $\sqrt[3]{32768} =$32。
(3) 已知 19 683 是一个整数的立方，仿照上面的计算过程，请计算: $\sqrt[3]{19683}$。

答案： 15.
(1)两
(2)2 3 32
(3)$\because10^3=1000$，$100^3=1000000$，$1000＜19683＜1000000$，$\therefore10＜\sqrt[3]{19683}＜100.\therefore\sqrt[3]{19683}$是两位数.$\because$只有个位上的数字是7的立方数的个位上的数字是3，$\therefore\sqrt[3]{19683}$的个位上的数字是7，划去19683后面的三位数683得到19.$\because2^3=8$，$3^3=27$，$8＜19＜27$，$\therefore20＜\sqrt[3]{19683}＜30.\therefore\sqrt[3]{19683}=27$