《2025年金钥匙提优训练课课练八年级数学上册苏科版徐州专版》

6. 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，∠B=∠ADB。
（1）求证：AB=CD；
（2）若∠C=30°，AB=6，求DE的长。

答案： 6.
(1)
∵ DE是AC的垂直平分线，
∴ AD = CD.
∵ ∠B = ∠ADB，
∴ AB = AD.
∴ AB = CD.
(2)
∵ AB = CD，AB = 6，
∴ CD = 6.
∵ DE是AC的垂直平分线，
∴ ∠DEC = 90°.
∵ ∠C = 30°，
∴ DE = $\frac{1}{2}$CD = 3.

7. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，点E在AD上。求证：∠AEB=∠AEC。

答案： 7.
∵ AB = AC，AD ⊥ BC，
∴ ∠BAD = ∠CAD. 在△ABE和△ACE中，$\begin{cases} AB = AC, \\ ∠BAE = ∠CAE, \\ AE = AE, \end{cases}$
∴ △ABE ≌ △ACE (SAS).
∴ ∠AEB = ∠AEC.

8. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，线段AB的垂直平分线分别交BC及CA的延长线于点D，E，连接BE。
（1）判断△ABE的形状，并说明理由；
（2）求BD:DC的值。

答案：
8.
(1) △ABE是等边三角形. 理由：
∵ DE是线段AB的垂直平分线，
∴ EB = EA.
∵ ∠BAC = 120°，
∴ ∠EAB = 60°.
∴ △ABE是等边三角形.
(2) 如图，设DE与AB交于点F.
∵ AB = AC，∠BAC = 120°，
∴ ∠ABC = ∠C = 30°.
∵ DE是线段AB的垂直平分线，
∴ ∠BFD = 90°.
∴ ∠FDB = 90° - ∠ABC = 90° - 30° = 60°.
∵ ∠C = 30°，
∴ ∠CED = ∠EDB - ∠C = 30°.
∴ ED = DC.
∵ △ABE是等边三角形，DE ⊥ AB，
∴ ∠BED = 30°.
∴ ∠EBD = 90°. 在Rt△EBD中，∠BED = 30°，
∴ BD = $\frac{1}{2}$ED，即BD = $\frac{1}{2}$DC.
∴ BD∶DC的值为$\frac{1}{2}$.
　　　　　　　　

9. （1）如图所示为△ABC，请用尺规作图法作出BC边上的中线AD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在△ABC中，若中线AD=$\frac{1}{2}$BC，求证：△ABC为直角三角形（请借助上一小题所作图形进行证明）。

答案：
9.
(1) 如图，AD即为所求作.
(2)
∵ AD是△ABC的中线，
∴ CD = BD = $\frac{1}{2}$BC.
∵ AD = $\frac{1}{2}$BC，
∴ CD = AD = BD.
∴ ∠DAC = ∠C，∠DAB = ∠B.
∵ ∠DAC + ∠C + ∠DAB + ∠B = 180°，
∴ ∠DAC + ∠DAB = ∠C + ∠B = 180° ÷ 2 = 90°，即∠CAB = 90°.
∴ △ABC为直角三角形.