《2025年金钥匙提优训练课课练八年级数学上册苏科版徐州专版》

8. 如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB交BA的延长线于点E，DF⊥BC于点F，∠BAD+∠C=180°，BC=12cm，AB=6cm，则AE的长度为3cm.

答案： 8.3

9. 如图，AB//CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P且与AB垂直.若AD=8，则点P到BC的距离为4.

答案： 9.4

10. 如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F.若△ABC的面积是30，AB=12，AC=8，求DE的长.

答案： 10.
∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB,DF⊥AC，
∴DE=DF.
∵△ABC的面积是30,AB=12,AC=8,
∴△ABC的面积=△ABD的面积+△ACD的面积=$\frac{1}{2}$AB·DE+$\frac{1}{2}$AC·DF=30.
∴$\frac{1}{2}$×12DE+$\frac{1}{2}$×8DF=6DE+4DF=6DE+4DE=30.
∴DE=3

11. (新视角·探究题)【感知】如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知DB=DC.
【探究】
(1)如图②，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B＜90°，试说明：DC=DB；
【应用】
(2)如图③，在四边形ABDC中，AD平分∠BAC，∠B=45°，∠C=135°，DE⊥AB，且BE=a，则AB-AC=2a(用含a的代数式表示).

答案：
11.
(1)如图①,作DE⊥AB于点E,作DF⊥AC 交AC的延长线于点F.
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,∠F=∠DEB=90°.
∵∠B+∠ACD=180°,∠ACD+∠FCD=180°,
∴∠B=∠FCD.在△DFC和△DEB中，
$\begin{cases}$
∠F = ∠DEB = 90°, \\
∠FCD = ∠B, \\
DF = DE,
$\end{cases}$
∴△DFC≌△DEB(AAS).
∴DC=DB
(2)2a　解析:如图②,作DF⊥AC交AC的延长线于点F.
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,∠F=∠DEB=90°.
∵∠B=45°,∠ACD=135°,
∴∠B+∠ACD=180°.
∵∠ACD+∠FCD=180°,
∴∠B=∠FCD.在△DFC和△DEB中，
$\begin{cases}$
∠F = ∠DEB = 90°, \\
∠FCD = ∠B, \\
DF = DE,
$\end{cases}$
∴△DFC≌△DEB(AAS).
∴DC=DB,CF=BE.在Rt△ADF和Rt△ADE中，
$\begin{cases}$
AD = AD, \\
DF = DE,
$\end{cases}$
∴Rt△ADF≌Rt△ADE(HL).
∴AF=AE.
∴AB=AE+BE=AC+CF+BE=AC+2BE.
∴AB−AC=2BE.
∵BE=a,
∴AB−AC=2a.