《2025年三维数字课堂七年级数学上册人教版》

【例 1】如果 $4x^{2}+3x - 5 = kx^{2}-20x + 20k$ 是关于 $x$ 的一元一次方程,那么 $k = $ 4,方程的解是$x = \frac{85}{23}$。
思路分析：要判断一个方程是不是一元一次方程,首先应先化为最简形式,原方程化为一般形式得 $(4 - k)x^{2}+23x - 5 - 20k = 0$。由一元一次方程的定义知 $4 - k = 0$,解得 $k = 4$,把 $k = 4$ 代入方程得 $23x - 85 = 0$,解得 $x = \frac{85}{23}$。
答案：$4$ $x = \frac{85}{23}$

答案： $4$；$x = \frac{85}{23}$

【例 2】已知关于 $x$ 的方程 $\frac{a - x}{2}= \frac{bx - 3}{3}$ 的解是 $x = 2$,其中 $a\neq0$,且 $b\neq0$,求代数式 $\frac{a}{b}-\frac{b}{a}$ 的值。
思路分析：根据方程的解的定义找出 $a$、$b$ 的关系,进而得出 $\frac{a}{b}$ 和 $\frac{b}{a}$ 的值。
解：把 $x = 2$ 代入方程得 $\frac{a - 2}{2}= \frac{2b - 3}{3}$,化简得 $3a = 4b$,则 $\frac{a}{b}= \frac{4}{3}$,$\frac{b}{a}= \frac{3}{4}$。所以原式 $=\frac{4}{3}-\frac{3}{4}= \frac{7}{12}$。

答案： 把$x = 2$代入方程$\frac{a - x}{2}= \frac{bx - 3}{3}$得：
$\frac{a - 2}{2}= \frac{2b - 3}{3}$
两边同时乘以6去分母得：
$3(a - 2)=2(2b - 3)$
展开得：
$3a - 6 = 4b - 6$
移项化简得：
$3a = 4b$
则$\frac{a}{b}=\frac{4}{3}$，$\frac{b}{a}=\frac{3}{4}$。
所以$\frac{a}{b}-\frac{b}{a}=\frac{4}{3}-\frac{3}{4}$
$=\frac{16}{12}-\frac{9}{12}$
$=\frac{7}{12}$。
综上，代数式$\frac{a}{b}-\frac{b}{a}$的值为$\frac{7}{12}$。

【例 3】某班去商场为书法比赛获奖者买奖品,书包每个定价 $40$ 元,文具盒每个定价 $8$ 元,商场实行两种优惠方案：①买一个书包送一个文具盒；②按总价的九折付款。若该班需购买书包 $10$ 个,购买文具盒若干个(不少于 $10$ 个)。
(1)当买文具盒 $40$ 个时,分别计算两种方案应付的费用。
(2)当购买文具盒多少个时,两种方案所付的费用相同？
(3)根据购买文具盒的个数,算出比较合算的优惠方案。
思路分析：根据两种优惠方案分别计算。
解：(1)第①种方案应付的费用为 $10×40+(40 - 10)×8 = 640$(元),第②种方案应付的费用为 $(10×40 + 40×8)×90\% = 648$(元)。即第①种方案应付的费用为 $640$ 元,第②种方案应付的费用为 $648$ 元。
(2)设购买文具盒 $x$ 个时,两种方案所付的费用相同,由题意,得 $10×40+(x - 10)×8= (10×40 + 8x)×90\%$,解得 $x = 50$。即当购买文具盒 $50$ 个时,两种方案所付的费用相同。
(3)由(1)(2)可得：当购买文具盒个数小于 $50$ 个时,选择方案①比较合算；当购买文具盒个数等于 $50$ 个时,两种方案所付的费用相同,两种方案都可以选择；当购买文具盒个数大于 $50$ 个时,选择方案②比较合算。

答案： 答题卡作答如下：
(1)方案①费用：$10 × 40 + (40 - 10) × 8 = 640$（元）；
方案②费用：$(10 × 40 + 40 × 8) × 90\% = 648$（元）；
即方案①$640$元，方案②$648$元。
(2)设购买文具盒$x$个，由题意得：
$10 × 40 + (x - 10) × 8 = (10 × 40 + 8x) × 90\%$
解得$x = 50$。
即当购买文具盒$50$个时，两种方案费用相同。
(3)当购买文具盒个数小于$50$个时，选择方案①；
当购买文具盒个数等于$50$个时，两种方案均可；
当购买文具盒个数大于$50$个时，选择方案②。

【例 4】检修某厂区的自来水管,甲单独做需 $14$ 天完成,乙单独做需 $18$ 天完成,丙单独做需 $12$ 天完成,前 $7$ 天由甲、乙两人共同做,但乙中途离开了一段时间,后一部分由乙、丙一起做 $2$ 天完成,乙中途离开了几天？
思路分析：工程问题中常用的工作总量为 $1$,常用的关系式是：工作效率 $×$ 工作时间 $=$ 工作量,可设工作总量为 $1$,则甲每天做 $\frac{1}{14}$,乙每天做 $\frac{1}{18}$,丙每天做 $\frac{1}{12}$。
解：设乙中途离开了 $x$ 天,根据题意得
$\frac{7}{14}+\frac{7 - x + 2}{18}+\frac{2}{12}= 1$,
解得 $x = 3$。
所以乙中途离开了 $3$ 天。

答案： 设乙中途离开了$x$天。
甲的工作效率为$\frac{1}{14}$，工作时间7天，工作量为$\frac{7}{14}$；
乙的工作效率为$\frac{1}{18}$，工作时间为$(7 - x + 2)$天，工作量为$\frac{7 - x + 2}{18}$；
丙的工作效率为$\frac{1}{12}$，工作时间2天，工作量为$\frac{2}{12}$。
根据工作总量为1，可列方程：
$\frac{7}{14}+\frac{7 - x + 2}{18}+\frac{2}{12}=1$
化简得：$\frac{1}{2}+\frac{9 - x}{18}+\frac{1}{6}=1$
通分：$\frac{9}{18}+\frac{9 - x}{18}+\frac{3}{18}=1$
合并同类项：$\frac{9 + 9 - x + 3}{18}=1$
$\frac{21 - x}{18}=1$
$21 - x = 18$
解得$x = 3$
答：乙中途离开了3天。