《2025年三维数字课堂七年级数学上册人教版》

5. 【数形结合思想】某一口深井的示意图如图 2 - 1 - 2 所示,以地面为基准,$A点的高度是+4.2$米,$B$,$C两点的高度分别是-15.6$米,$-30.5$米,则$A点比B$点高多少？比$C$点呢？

答案： 解:4.2-(-15.6)=19.8(米),4.2-(-30.5)=34.7(米),所以A点比B点高19.8米,A点比C点高34.7米.

6. 对于有理数$a$,$b$,$n$,$d$,若$| a - n | + | b - n | = d$,则称$a和b关于n$的“相对距离”为$d$,例如$| 2 - 1 | + | 3 - 1 | = 3$,则 2 和 3 关于 1 的“相对距离”为 3。
(1)$-3$和 4 关于 1 的“相对距离”为\underline{\quad7\quad}；
(2)若$a$和 5 关于 2 的“相对距离”为 6,求$a$的值。
解:由题意得|a-2|+|5-2|=6,所以|a-2|+3=6,所以|a-2|=3,a-2=±3,所以a=5或-1.

答案： 解:
(1)|-3-1|+|4-1|=4+3=7.故答案为7.
(2)由题意得|a-2|+|5-2|=6,所以|a-2|+3=6,所以|a-2|=3,a-2=±3,所以a=5或-1.

7. 如果$| a | = 3$,$| b | = 1$,$| a - b | = - ( a - b )$,那么$a + b$的值为多少？

答案： 解:因为|a|=3,|b|=1,所以a=±3,b=±1.又因为|a-b|=-(a-b),所以a＜b.所以当a=-3,b=1时,a+b=-2;当a=-3,b=-1时,a+b=-4.所以a+b的值为-2或-4.

8. 【定义新运算】假设用符号$( a, b )表示a$,$b$两数中较小的一个,用符号$[ a, b ]$表示两数中较大的一个,试求下列各式的值。
(1)$( - 5, - 2 ) - [ - 10, 1 ]$；
(2)$( - 1, 3 ) - [ - 4, ( - 2, - 7 ) ]$。

答案： 解:
(1)(-5,-2)-[-10,1]=(-5)-1=-6.
(2)(-1,3)-[-4,(-2,-7)]=-1-[-4,-7]=-1-(-4)=-1+4=3.

1. 【分类讨论问题】探讨数轴上两点之间的距离. 已知数轴上有两个点$A$,$B$,求$A$,$B$之间的距离。
(1)当$A点表示数+2$,$B点表示数+3$时,$A$,$B$之间的距离为多少？
(2)当$A点表示数-2$,$B点表示数-3$时,$A$,$B$之间的距离为多少？
(3)当$A点表示数-2$,$B点表示数+3$时,$A$,$B$之间的距离为多少？
(4)当$A点表示数+2$,$B点表示数-3$时,$A$,$B$之间的距离为多少？
(5)猜想$A点表示数a$,$B点表示数b$,$A$,$B$两点之间的距离为多少？

答案： 解:
(1)|2-3|=|-1|=1.
(2)|-2-(-3)|=|1|=1.
(3)|-2-3|=|-5|=5.
(4)|2-(-3)|=|5|=5.
(5)由以上小题结果可知,A,B两点之间的距离是|a-b|. 点拨:借助数轴理解数轴上两点间的距离等于两点所表示的有理数之差的绝对值.

2. 【实际应用问题】一名潜水员在水下 80 米处发现一条鲨鱼在离他上方 25 米的位置往下追逐猎物,当它向下游了 42 米后追上猎物,此时猎物反而向上方游去,鲨鱼紧紧跟随,又游了 10 米后,鲨鱼吃掉猎物。
(1)求鲨鱼吃掉猎物时所在的位置；
(2)鲨鱼吃掉猎物时所在的位置与刚开始潜水员发现鲨鱼的位置相比有什么变化？

答案： 解:
(1)设鲨鱼向上游的高度为正,潜水员在水下80米处记为-80米,则鲨鱼吃掉猎物时所在的位置是:-80+25-42+10=(-80-42)+(25+10)=-122+35=-87(米). 所以鲨鱼在水下87米处吃掉猎物.
(2)鲨鱼原来的位置是-80+25=-55(米),即鲨鱼原来在水下55米处. -87-(-55)=-87+55=-32(米). 所以鲨鱼吃掉猎物时所在的位置与刚开始潜水员发现鲨鱼的位置相比,它向下游了32米.