《2025年三维数字课堂七年级数学上册人教版》

5. 若$x + y = 0且xy ≠ 0$,则$(\frac{x}{y})^{2012}=$1.

答案： 1 点拨:因为$x+y=0$,所以$x=-y$.所以$(\frac{x}{y})^{2012}=(-1)^{2012}=1$.

6. 【阅读理解问题】探索规律：$3^{1} = 3$,个位上的数字是 3；$3^{2} = 9$,个位上的数字是 9；$3^{3} = 27$,个位上的数字是 7；$3^{4} = 81$,个位上的数字是 1；$3^{5} = 243$,个位上的数字是 3；$3^{6} = 729$,个位上的数字是 9；…；那么$3^{7}$的个位上的数字是7,$3^{20}$的个位上的数字是1.

答案： 7 1 点拨:本题主要考查利用乘方知识探索规律的能力.由已知可知,对于3的n次幂,个位数字是4个一循环,因此,欲求$3^{7}$,$3^{20}$的个位数字是多少,关键看共有几个循环,余数是几.因为$7÷4=1……3$,所以$3^{7}$的个位数字是7,而$20÷4=5$,故$3^{20}$的个位数字是1.

7. 【推理问题】解答下列问题：
(1) 看一看下面两组算式,$(4×6)^{2}与4^{2}×6^{2}$,$[(-\frac{1}{3})×9]^{2}与(-\frac{1}{3})^{2}×9^{2}$,每组两个算式的计算结果是否相等？
(2) 写出$(xy)^{3}与x^{3}y^{3}$的关系；
(3) 判断$(xy)^{n}与x^{n}y^{n}$($n$为正整数)的关系,并加以证明.

答案： 解:
(1)因为$(4×6)^{2}=24^{2}=576$,$4^{2}×6^{2}=16×36=576$,于是有$(4×6)^{2}=4^{2}×6^{2}$.因为$[(-\frac{1}{3})×9]^{2}=(-3)^{2}=9$,$(-\frac{1}{3})^{2}×9^{2}=\frac{1}{9}×81=9$,故$[(-\frac{1}{3})×9]^{2}=(-\frac{1}{3})^{2}×9^{2}$.
(2)$(xy)^{3}=x^{3}y^{3}$.
(3)$(xy)^{n}=x^{n}y^{n}$(n为正整数).
证明如下:$(xy)^{n}=\underbrace{(xy)\cdot(xy)\cdot(xy)\cdot\cdots\cdot(xy)}_{n个xy}=\underbrace{x\cdot x\cdot\cdots\cdot x}_{n个x}\cdot\underbrace{y\cdot y\cdot\cdots\cdot y}_{n个y}=x^{n}y^{n}$.
点拨:很多数学问题的结论,不直接给出,需要去观察、尝试、寻找和发现,合理地运用类比思想,就能得出一般性的结论.

1. 【阅读理解问题】先阅读,然后解答问题.
计算$1 + 5 + 5^{2} + 5^{3} + … + 5^{2012}$的值,先观察算式中的数,发现后面的数是前面的数的 5 倍,针对此题特点,可设原式为$S$,即$S = 1 + 5 + 5^{2} + 5^{3} + … + 5^{2012}$,然后两边同乘 5,利用错位相减,可求得$S$,具体解题过程如下：
设$S = 1 + 5 + 5^{2} + 5^{3} + … + 5^{2012}$,……①
两边同乘 5,得
$5S = 5 + 5^{2} + 5^{3} + … + 5^{2013}$. ……②
② - ①,得$4S = 5^{2013} - 1$.
所以$S = \frac{5^{2013} - 1}{4}$,即$1 + 5 + 5^{2} + 5^{3} + … + 5^{2012} = \frac{5^{2013} - 1}{4}$.
通过阅读,你一定学会了这种解决问题的方法,请用你学到的方法计算$1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + … + 3^{2013}$的值.

答案： 解:设$S=1+3+3^{2}+3^{3}+\cdots+3^{2013}$,……①
两边同乘3,得$3S=3+3^{2}+3^{3}+\cdots+3^{2014}$,……②
②-①,得$2S=3^{2014}-1$.
所以$S=\frac{3^{2014}-1}{2}$,即$1+3+3^{2}+3^{3}+\cdots+3^{2013}=\frac{3^{2014}-1}{2}$.

2. 【跨学科融合—计算机】我们平时用的是十进制数,例如：$305672 = 3×10^{5} + 0×10^{4} + 5×10^{3} + 6×10^{2} + 7×10 + 2$,表示十进制数要用 10 个数字：9,8,7,6,5,4,3,2,1,0. 而在知识爆炸、信息技术高速发展的今天,电子计算机广泛地应用于人们的生产和生活,但计算机中使用的二进制数只有两个数字：1 和 0. 例如：二进制数 101101,把它化成十进制数是：$(101101)_{2} = 1×2^{5} + 0×2^{4} + 1×2^{3} + 1×2^{2} + 0×2^{1} + 1 = 32 + 8 + 4 + 1 = 45$.
解答下列问题：
(1) 二进制中的 1110011 改为十进制数是多少？
(2) 仿照二进制的说明与算法,请你计算一下,八进制中的 1507 改为十进制数是多少？

答案： 解:
(1)因为$(1110011)_{2}=1×2^{6}+1×2^{5}+1×2^{4}+0×2^{3}+0×2^{2}+1×2+1=115$.所以二进制数中的1110011等于十进制数中的115.
(2)因为$(1507)_{8}=1×8^{3}+5×8^{2}+0×8+7=512+320+7=839$,所以八进制中的1507等于十进制中的839.
点拨:本题主要考查学生观察和模仿的能力,解决好本题,关键是仿照二进制的算法.