《2025年三维数字课堂七年级数学上册人教版》

5. 【教材 P91 练习 2 变式】用单项式表示下列各量,并说出它们的系数和次数：
(1)原产量 n 吨,增产 25%之后的产量；
(2)x 的平方与 y 的积的$3\frac{1}{2}$；
(3)底面积为 S,高为 h 的圆锥的体积。

答案： 解:
(1)依题意,得$(1+25\%)n=1.25n$,系数为1.25,次数为1.
(2)依题意,得$\frac{7}{2}x^{2}y$,系数为$\frac{7}{2}$,次数为3.
(3)依题意,得$\frac{1}{3}Sh$,系数为$\frac{1}{3}$,次数为2.

6. 若$(2m - 1)x^{4}y^{n - 1}$是关于 x,y 的系数为 1 的五次单项式,求$m^{2}-n^{2}$的值。

答案： 解:由题意可得$2m-1=1$,所以$m=1$.又$n-1+4=5$,所以$n=2$,所以$m^{2}-n^{2}=1^{2}-2^{2}=-3$.点拨:本题进一步加深对单项式次数和系数意义的理解.

1. 【推理问题】观察下列单项式$-a,2a^{2},-3a^{3},4a^{4},-5a^{5},...$
(1)观察规律,写出第 2023 个和第 2024 个单项式；
(2)请你写出第 m 个单项式和第$(m + 1)$个单项式(m 为自然数)。

答案： 解:
(1)第2023个单项式是$-2023a^{2023}$,第2024个单项式是$2024a^{2024}$.
(2)第m个单项式是$(-1)^{m}ma^{m}$,第$(m+1)$个单项式是$(-1)^{m+1}\cdot (m+1)a^{m+1}$.点拨:此题的难点在于确定项的符号,根据题中已给信息,发现奇数项的符号为负,偶数项的符号为正.

2. 【阅读理解问题】如果$-\frac{a}{2}x^{3}y^{|n - 3|}$是关于 x,y 的单项式(a,n 为常数),且系数是$-\frac{2}{3}$,次数是 6,求 a,n 的值。
解：因为单项式的系数是$-\frac{2}{3}$,所以$\frac{a}{2}= -\frac{2}{3}$,即$a = -\frac{4}{3}$。(第一步)
又因为单项式的次数是 6,所以$3+(n - 3)= 6$,即$n = 6$。(第二步)
所以$a = -\frac{4}{3},n = 6$。
判断上面的解答过程是否正确。如果正确,请叙述每步的解题根据；如果不正确,请指出错在哪一步,并写出正确的解答过程。

答案： 解:上面的两步均不正确,正确的解答过程如下:因为单项式的系数是$-\frac{2}{3}$,所以$-\frac{a}{2}=-\frac{2}{3}$,即$a=\frac{4}{3}$.又因为单项式的次数是6,所以$|n-3|+3=6$,即$|n-3|=3$,所以$n=6$或$n=0$.所以$a=\frac{4}{3}$,$n=6$或0.点拨:该题是对单项式有关定义的考查,并与绝对值等知识紧密结合,培养学生的观察、辨析能力和分类讨论的思想.解题应注意符号的变化,并针对$|n-3|=3$进行分类讨论,得出正确答案.