《2025年三维数字课堂七年级数学上册人教版》

5. 老师在黑板上出了一道解方程的题$\frac{2x - 1}{3} = 1 - \frac{x + 2}{4}$,小亮马上举起右手,要求到黑板上去做,他是这样做的：
$4(2x - 1) = 1 - 3(x + 2)$①
$8x - 4 = 1 - 3x - 6$②
$8x + 3x = 1 - 6 + 4$③
$11x = - 1$④
$x = - \frac{1}{11}$⑤
老师说小亮解一元一次方程的一般步骤都掌握了,但解题时有一步做错了,请你指出他错在第①步(填序号),然后请你细心地解此方程。
解方程$\frac {2x-1}{3}=1-\frac {x+2}{4}$,去分母,得$4(2x-1)=12-3(x+2)$,去括号,得$8x-4=12-3x-6$,移项,得$8x+3x=12-6+4$,合并同类项,得$11x=10$,系数化为1,得$x=\frac {10}{11}.$

答案： ① 解方程$\frac {2x-1}{3}=1-\frac {x+2}{4}$,去分母,得$4(2x-1)=12-3(x+2)$,去括号,得$8x-4=12-3x-6$,移项,得$8x+3x=12-6+4$,合并同类项,得$11x=10$,系数化为1,得$x=\frac {10}{11}.$

6. 若$x = a是方程\frac{x + 3}{4} - \frac{2 - 3x}{8} = \frac{5}{2}$的解,$x = b是方程\frac{5x + 1}{6} = \frac{9x + 1}{8} - \frac{1 - x}{3}$的解,求$a - b$的值。

答案： 解:解方程$\frac {x+3}{4}-\frac {2-3x}{8}=\frac {5}{2}$,去分母,得$2x+6-2+3x=20$,移项、合并同类项,得$5x=16$,系数化为1,得$x=\frac {16}{5}$.所以$a=\frac {16}{5}$.解方程$\frac {5x+1}{6}=\frac {9x+1}{8}-\frac {1-x}{3}$,去分母,得$20x+4=27x+3-8+8x$,移项合并同类项,得$-15x=-9$,系数化为1,得$x=\frac {3}{5}$.所以$b=\frac {3}{5}$.则$a-b=\frac {16}{5}-\frac {3}{5}=\frac {13}{5}.$
点拨:通过解方程求出方程的解,即求出a、b的值,再求$a-b$的值.

1. 【阅读理解问题】类比推理是一种推理方法,根据两种事物在某些特征上相似,得出它们在其他特征上也可能相似的结论。在异分母分数的加减法中,往往先化作同分母分数,然后分子相加减,例如：$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{2×3} - \frac{2}{3×2} = \frac{3 - 2}{6} = \frac{1}{6}$,我们将上述计算过程倒过来,得到$\frac{1}{6} = \frac{1}{2×3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$,这一恒等变形过程在数学中叫作裂项。类似地,对于$\frac{1}{2×4}可以用裂项的方法变形为\frac{1}{2×4} = \frac{1}{2}×(\frac{1}{2} - \frac{1}{4})$,类比上述方法解决以下问题。
(1) $\frac{1}{1×2} + \frac{1}{2×3} + \frac{1}{3×4} + \frac{1}{4×5} = $$\frac{4}{5}$；
(2) 求解关于$x的方程\frac{1}{- 2×4} + \frac{1}{- 4×6} + … + \frac{1}{- 48×50} = \frac{19}{25} - 2x$。
解:将已知方程整理,得$-\frac {1}{2}×(\frac {1}{2}-\frac {1}{4}+\frac {1}{4}-\frac {1}{6}+... +\frac {1}{48}-\frac {1}{50})=\frac {19}{25}-2x$.整理得$-\frac {1}{2}×(\frac {1}{2}-\frac {1}{50})=\frac {19}{25}-2x$,即$-\frac {6}{25}=\frac {19}{25}-2x$,解得$x=\frac {1}{2}.$

答案：
(1)$\frac {4}{5}$ 点拨:原式$=1-\frac {1}{2}+\frac {1}{2}-\frac {1}{3}+\frac {1}{3}-\frac {1}{4}+\frac {1}{4}-\frac {1}{5}=1-\frac {1}{5}=\frac {4}{5}$.故答案为$\frac {4}{5}.$
(2)解:将已知方程整理,得$-\frac {1}{2}×(\frac {1}{2}-\frac {1}{4}+\frac {1}{4}-\frac {1}{6}+... +\frac {1}{48}-\frac {1}{50})=\frac {19}{25}-2x$.整理得$-\frac {1}{2}×(\frac {1}{2}-\frac {1}{50})=\frac {19}{25}-2x$,即$-\frac {6}{25}=\frac {19}{25}-2x$,解得$x=\frac {1}{2}.$

2. 【实际应用问题】某班组织春游,队伍排成单列,班长在队伍中,数了一下他前后的人数,发现前面人数是后面人数的两倍,他往前超了$6$位同学,发现前面的人数和后面的人数一样。
(1) 这列队伍一共有多少名学生？
(2) 这列队伍要过一座$320m$的大桥,为安全起见,相邻两名学生保持相同的一定间距,前行速度为$1.4m/s$,从第一名学生刚上桥到全体通过大桥用了$280s$,请问相邻两名学生间的距离为多少米(不考虑身材的大小)？

答案： 解:
(1)设这列队伍有x名学生.
由题意,得$\frac {x-1}{2}+6=2(\frac {x-1}{2}-6).$
解得$x=37.$
(2)设相邻两名学生间的距离为y m,队伍全部通过大桥所经过的路程为$(320+36y)m.$
则$\frac {320+36y}{1.4}=280$,解得$y=2.$