《2025年三维数字课堂七年级数学上册人教版》

活动 1 生活中的阶梯计价问题
“绿色环保,人人有责；节约用水,共创美好明天.”某市为了加强公民的节水意识,合理利用水资源,采用价格调控的手段以达到节水的目的,经物价部门审核,该市自来水收费的价目表如下,请根据表中的信息解答下列问题：

(1)若某用户 5 月份用水 $12m^3$,则应交水费______元.
(2)若该用户 7 月份应交水费 77 元,则用水______ $m^3$.
(3)若该用户 9,10 两个月共用水 $30m^3$,共交水费 93 元(9 月份用水量超过了 10 月份),求 9 月份用水量.

答案： 36
@@22
@@设 9 月份用水 $ x\,m^3 $,则 10 月份用水$(30-x)\,m^3$.
∵9 月份用水量超过了 10 月份,
∴9 月份用水量大于 $ 15\,m^3 $,10 月份用水量小于 $ 15\,m^3 $.①当 $ 15 ＜ x \leqslant 20 $ 时,9 月份水费:$ 15× 3+(x-15)× 4=4x-15 $,10 月份水费:$ 3(30-x)=-3x+90 $,则 $ 4x-15+(-3x+90)=93 $,解得 $ x=18 $.②当 $ 20 ＜ x \leqslant 30 $ 时,9 月份水费:$ 15× 3+5× 4+6(x-20)=6x-55 $,10 月份水费:$ -3x+90 $,则 $ (6x-55)+(-3x+90)=93 $,解得 $ x=\dfrac{58}{3} $,不符合题意,舍去.答:9 月份用水量是 $ 18\,m^3 $.

若工人师傅欲用撬棍撬动一块大石头[如图 5-1②所示],已知阻力和阻力臂不变,分别为 $1500N$ 和 $0.4m$.
(1)动力 $F(N)$ 与动力臂 $l(m)$ 有怎样的关系?当动力臂为 $1.5m$ 时,撬动石头需要多大的力?
(2)若想使动力 $F(N)$ 等于 $200N$,则动力臂要加长多少?

答案：
(1)$ F=\dfrac{600}{l} $ 撬动石头需要 400N 的力.
(2)动力臂要加长 1.5m.

【数学思考】
(3)请用数学知识解释：我们使用撬棍,当阻力与阻力臂一定时,为什么动力臂越长越省力.

答案： 因为撬棍工作原理遵循"杠杆定律",当阻力与阻力臂一定时,其乘积为常数,设其为 $ k $,则动力 $ F $ 与动力臂 $ l $ 的关系式为 $ F=\dfrac{k}{l} $,根据反比例关系的性质可知,动力 $ F $ 随动力臂 $ l $ 的增大而减小,所以动力臂越长越省力.