《2025年三维数字课堂七年级数学上册人教版》

4. 已知$-\frac{x}{8}mn^{|y|}是关于m$、$n$的单项式,且系数为$-\frac{5}{4}$,次数是 5,求式子$4x-\frac{1}{2}y$的值。

答案： 解:由题意,得$-\frac {x}{8}=-\frac {5}{4}$,且$|y|+1=5$,解得$x=10,y=\pm 4$.当$x=10,y=4$时,$4x-\frac {1}{2}y=4×10-\frac {1}{2}×4=40-2=38$;当$x=10,y=-4$时,$4x-\frac {1}{2}y=4×10-\frac {1}{2}×(-4)=40+2=42$.故式子$4x-\frac {1}{2}y$的值为 38 或 42.

5. 已知式子$M= (a+5)x^{3}+7x^{2}-2x+5是关于x$的二次多项式,且多项式的二次项系数为$b$,如图 4-1-1 所示,数轴上$A,B两点所对应的数分别是a,b$。
(1)填空：$a= $-5,$b= $7,$A,B$两点之间的距离为12；
(2)有一动点$P从点A$出发第一次向左运动 1 个单位长度,然后在新的位置第二次运动,向右运动 2 个单位长度,然后在此位置第三次运动,向左运动 3 个单位长度。按照如此规律不断地左右运动,当运动到第 2025 次时,求点$P$所对应的有理数。
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(2)根据题意,得$-5-1+2-3+4-... -2023+2024-2025=-5+(-1+2)+(-3+4)+... +(-2023+2024)-2025=-5+\frac {2024}{2}×1-2025=-5+1012-2025=-1018$.所以运动到第 2025 次时,点 P 所对应的有理数为-1018.

答案：
(1)-5 7 12 点拨:因为式子$M=(a+5)x^{3}+7x^{2}-2x+5$是关于 x 的二次多项式,且多项式的二次项系数为 b,所以$a+5=0,b=7$,所以$a=-5$,所以 A,B 两点之间的距离为$|7-(-5)|=12$.故答案为-5,7,12.
(2)根据题意,得$-5-1+2-3+4-... -2023+2024-2025=-5+(-1+2)+(-3+4)+... +(-2023+2024)-2025=-5+\frac {2024}{2}×1-2025=-5+1012-2025=-1018$.所以运动到第 2025 次时,点 P 所对应的有理数为-1018.

1. 【实际应用问题】小红和小兰房间窗户的装饰物如图 4-1-2,它们分别由 2 个四分之一圆和 4 个半圆组成(半径分别相同)。
(1)窗户中能射进阳光的部分的面积分别是多少(窗框面积忽略不计)？
(2)你能指出其中的单项式或多项式吗？它们的次数分别是多少？
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答案： 解:
(1)题图 4-1-1①中小红房间窗户的装饰物所占的面积相当于半径为$\frac {b}{2}$的圆的面积的一半,即$\frac {π}{8}b^{2}$,窗户中能射进阳光的部分的面积为$ab-\frac {π}{8}b^{2}.$题图 4-1-1②中小兰房间窗户的装饰物所占面积是半径为$\frac {b}{8}$的两个小圆的面积和,即$2×\frac {π}{64}b^{2}=\frac {π}{32}b^{2}$,窗户中能射进阳光的部分的面积是$ab-\frac {π}{32}b^{2}.$
(2)$ab-\frac {π}{8}b^{2}$和$ab-\frac {π}{32}b^{2}$都是多项式,且次数都是 2.点拨:窗户中能射进阳光的部分的面积分别是长方形的面积减去图中阴影部分的面积.

2. 【推理问题】如图 4-1-3 是用棋子摆成的“T”字图案。

(1)摆成第 1 个“T”字图案需要多少枚棋子？第 2 个呢？
(2)按这样的规律摆下去,摆成第$n$个“T”字图案需要多少枚棋子？
(3)如果按这个规律摆下去,则第 2013 个“T”字图案需要多少枚棋子？

答案： 解:
(1)摆成第 1 个“T”字图案需要 5 枚棋子,第 2 个“T”字图案需要8 枚棋子.
(2)摆成第n个“T”字图案需要$[5+3(n-1)]$枚棋子.
(3)当$n=2013$时,$5+3×(2013-1)=6041$(枚).所以第 2013 个“T”字图案需要 6041 枚棋子.点拨:先观察每一个图形,再寻找规律.因为第 1 个“T”字图案中有5枚棋子;第2个“T”字图案中有$(5+3×1)$枚棋子;第3个“T”字图案中有$(5+3×2)$枚棋子,依此规律可得出第n个“T”字图案中有$[5+3(n-1)]$枚棋子.找规律问题一般应经历四个阶段:特例引路、对比分析、总结规律、反思检验.