《2025年三维数字课堂七年级数学上册人教版》

3. 有关资料表明,如果一个人在刷牙过程中一直开着水龙头,将浪费大约$10$杯水(每杯水约$250$毫升)。
(1)如果一家三口都像这样每天刷两次牙,一年要浪费多少毫升水？(一年按$360$天计算)
(2)如果每立方米水按$4$元计算,这个家庭一年要浪费多少钱？
(3)某城市约有$100$万个这样的家庭,如果所有的人在刷牙过程中都不关水龙头,则一年要浪费多少立方米水？浪费多少钱？

答案： 解:
(1)$10×250×3×2×360=5.4× 10^{6}$(毫升).
因此一年要浪费$5.4× 10^{6}$毫升水.
(2)$5.4× 10^{6}$毫升$=5.4$立方米,$5.4×4=21.6$(元).
故这个家庭一年要浪费$21.6$元钱.
(3)$5.4× 10^{6}×1000000=5.4× 10^{12}$(毫升)$=5.4× 10^{6}$立方米,$5.4× 10^{6}×4=2.16× 10^{7}$(元)
故一年浪费的水为$5.4× 10^{6}$立方米,浪费的钱为$2.16× 10^{7}$元.

4. 某校举办秋季运动会,七(1)班和七(2)班进行拔河比赛。比赛规定标志物红绸向某班方向移动$2m或2m$以上,该班就获胜。红绸先向七(2)班移动$0.2m$,后又向七(1)班移动$0.5m$,相持几秒后,红绸向七(2)班移动$0.8m$,随后又向七(1)班移动$1.4m$,在一片欢呼声中,红绸再向七(1)班移动$1.3m$,裁判员一声哨响,比赛结束。最终获胜的是几班？

答案： 解:设红绸向七
(2)班移动为正,则向七
(1)班移动为负,则由题意得$0.2-0.5+0.8-1.4-1.3=(-0.5-1.4-1.3)+(0.2+0.8)=-3.2+1.0=-2.2(m)$.因为$|-2.2|＞2$,$-2.2$是负数,所以最终获胜的是七
(1)班.
点拨:这道题可以利用有理数的加减混合运算来解决.标志物红绸向七
(1)班移动和向七
(2)班移动是一对具有相反意义的量.由于此题没有规定向哪个方向移动为正,向哪个方向移动为负,所以我们在解题时可自行规定.

5. 不用任何运算符号,三个$1可以组成111$,$11^{1}$,$1^{11}这3$个数,其中最大的数是$111$,三个$2组成的数中2^{22}$最大,请你选用合适的方法研究一下,三个$3$可以组成的最大的数是什么,三个$9$组成的数中最大的数是什么吗？

答案： 解:三个3组成的最大的数是$3^{33}$,三个9组成的最大的数是$9^{99}$.

6. 你知道国际象棋吗？棋盘上共有$8行8$列,构成$64$个格。有这样一个故事：国王要奖赏国际象棋的发明者,问他有什么要求,发明者说：“请在第一个格子里放$1$粒麦子,在第二个格子里放$2$粒麦子,在第三个格子里放$4$粒麦子,在第四个格子里放$8$粒麦子,依此类推,每个格子里放的麦子粒数都是前一个格子里麦子粒数的$2$倍,直到第六十四个格子为止,请给我足够的粮食来实现我的上述要求。”国王慨然应允,请你帮助国王计算一下,他应付给发明者多少粒麦子？

答案： 解:由题意可知,发明者得到国王赏给他的麦子粒数是$1+2+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{63}$.
设$S=1+2+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{63}$,①
①$×2$得$2S=2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+\cdots+2^{63}+2^{64}$.②
②$-$①得$S=2^{64}-1$.
所以$1+2+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{63}=2^{64}-1$.
即国王应付给发明者$(2^{64}-1)$粒麦子.
点拨:要想列式解这道题,关键是分析出每一个格子中麦子的粒数,第一个格子放1粒,第二个格子放2粒,第三个格子放4粒,即$2^{2}$粒,第四个格子放8粒,即$2^{3}$粒,$\cdots$,第六十四个格子放$2^{63}$粒.总的麦子粒数即为$1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+\cdots+2^{63}$,接下来如何化简呢?经过观察发现,这64个数的特点是后一个数是前一个数的2倍,那么不妨设$S=1+2+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{63}$,再用2乘这个式子的两边,得$2S=2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+\cdots+2^{63}+2^{64}$,最后用后一个式子减去前一个式子即可.