《2025年同步练习册大象出版社七年级数学上册人教版》

16. (★★)用同样规格的黑、白两种颜色的正方形瓷砖,按下图的方式铺地面.

(1)观察图形,填写下表:

(2)依上表推测,第 $ n $ 个图形中黑色瓷砖的块数为$3n+1$,白色瓷砖的块数为$3n+2$.(用含 $ n $ 的代数式表示)
(3)黑色瓷砖与白色瓷砖的总块数可能是 $ 2024 $ 吗? 若能,求出是第几个图形;若不能,请说明理由.
不能.理由如下: 由(2)知,白色瓷砖与黑色瓷砖的总块数是$(3n+1)+(3n+2)=6n+3$. 法一:因为n为整数,所以6n为偶数.所以$6n+3$为奇数. 而2024是偶数,所以黑色瓷砖与白色瓷砖的总块数不可能是2024. 法二:假设黑色瓷砖与白色瓷砖的总块数是2024,则$6n+3=2024$,即$6n=2021$. 所以$n=\frac{2021}{6}$.而$\frac{2021}{6}$不是整数, 所以假设不成立. 故黑色瓷砖与白色瓷砖的总块数不可能是2024.

答案：
(1)10 11
(2)$3n+1$ $3n+2$
(3)不能.理由如下: 由
(2)知,白色瓷砖与黑色瓷砖的总块数是$(3n+1)+(3n+2)=6n+3$. 法一:因为n为整数,所以6n为偶数.所以$6n+3$为奇数. 而2024是偶数,所以黑色瓷砖与白色瓷砖的总块数不可能是2024. 法二:假设黑色瓷砖与白色瓷砖的总块数是2024,则$6n+3=2024$,即$6n=2021$. 所以$n=\frac{2021}{6}$.而$\frac{2021}{6}$不是整数, 所以假设不成立. 故黑色瓷砖与白色瓷砖的总块数不可能是2024.

17. (★★)2024 年央视春节联欢晚会上的纸牌魔术,让观众津津乐道.其实这个魔术是一个“数学魔法”,当然,还有很多数学魔法.数学课上,老师对同学们说:请你默想一个一位数,把这个数乘 $ 2 $,加上 $ 5 $,再乘 $ 50 $,加上 $ 1775 $,最后再减去你出生的年份.把运算的结果告诉我,我就能猜中你默想的那个一位数和你今年(2025 年)的年龄.
注:年龄只考虑出生年份,不考虑月份,如 2000 年 $ 1\sim12 $ 月出生,今年(2025 年)都是 $ 25 $ 岁.
(1)【特例研究】请举例说明数学老师是如何猜中同学默想的一位数和今年(2025 年)的年龄的.
(2)【一般原理】请你帮助同学们揭秘数学老师的“魔法”,并解释其中的原理.

答案：
(1)例如:假如小明2010年出生,默想的一位数是6, $(6×2+5)×50+1775-2010=615$, 所以结果中百位数字就是小明默想的一位数,后面的两位数是小明的年龄. 所以小明默想的一位数是6,小明今年(2025年)的年龄为15岁.
(2)设默想的一位数是a,该同学的出生年份是b. 根据题意,得$(2a+5)×50+1775-b$ $=100a+250+1775-b$ $=100a+(2025-b)$. 所以结果的百位数字是a(为默想的一位数),后两位数字是$(2025-b)$,即该同学的年龄.