《2025年同步练习册大象出版社七年级数学上册人教版》

21. (★★★) 【背景知识】
数轴是初中数学的一个重要工具,利用数轴可以将数与形完美地结合。研究数轴,我们发现了许多重要的规律,比如：若数轴上点$A$,$B表示的数分别为a$,$b$,则$A$,$B两点之间的距离AB = |a - b|$,线段$AB的中点表示的数为\frac{a + b}{2}$。
【问题情境】
如图,数轴上点$A表示的数为-2$,点$B表示的数为8$,点$P从点A$出发,以每秒$3$个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,同时点$Q从点B$出发,以每秒$2$个单位长度的速度向左匀速运动。设运动时间为$t s$($t ＞ 0$)。
【综合运用】
(1) 填空：$t s$后,点$P$表示的数为$-2+3t$,点$Q$表示的数为$8-2t$。(用含$t$的代数式表示)
(2) 求当$t$为何值时,$P$,$Q$两点相遇,并写出相遇点所表示的数。
(3) 求当$t$为何值时,$PQ = \frac{1}{2}AB$。
(4) 若点$M为PA$的中点,点$N为PB$的中点,点$P$在运动过程中,线段$MN$的长度是否发生变化？若变化,请说明理由；若不变,请求出线段$MN$的长。
(2)根据题意,得$-2+3t=8-2t$.解得$t=2$.此时$-2+3×2=4$.所以当t为2时,P,Q两点相遇,相遇点所表示的数为4.
(3)因为点A表示的数为-2,点B表示的数为8,所以$AB=|8-(-2)|=10$.因为$PQ=\dfrac{1}{2}AB$,所以$|-2+3t-(8-2t)|=\dfrac{1}{2}×10$.解得$t=1$或$t=3$.所以当t为1或3时,$PQ=\dfrac{1}{2}AB$.
(4)线段MN的长度不发生变化.理由如下:因为点M为PA的中点,点N为PB的中点,所以点M表示的数是$\dfrac{-2-2+3t}{2}=\dfrac{3t}{2}-2$,点N表示的数是$\dfrac{-2+3t+8}{2}=3+\dfrac{3t}{2}$.所以$MN=\left|3+\dfrac{3t}{2}-\left(\dfrac{3t}{2}-2\right)\right|=5$.所以线段MN的长度为5,不发生变化.

答案：
(1)$-2+3t$ $8-2t$
(2)根据题意,得$-2+3t=8-2t$.解得$t=2$.此时$-2+3×2=4$.所以当t为2时,P,Q两点相遇,相遇点所表示的数为4.
(3)因为点A表示的数为-2,点B表示的数为8,所以$AB=|8-(-2)|=10$.因为$PQ=\dfrac{1}{2}AB$,所以$|-2+3t-(8-2t)|=\dfrac{1}{2}×10$.解得$t=1$或$t=3$.所以当t为1或3时,$PQ=\dfrac{1}{2}AB$.
(4)线段MN的长度不发生变化.理由如下:因为点M为PA的中点,点N为PB的中点,所以点M表示的数是$\dfrac{-2-2+3t}{2}=\dfrac{3t}{2}-2$,点N表示的数是$\dfrac{-2+3t+8}{2}=3+\dfrac{3t}{2}$.所以$MN=\left|3+\dfrac{3t}{2}-\left(\dfrac{3t}{2}-2\right)\right|=5$.所以线段MN的长度为5,不发生变化.