《2025年同步练习册大象出版社七年级数学上册人教版》

13. (★) 已知下列式子：①$x - 2 = \frac{2}{x}$；②$\frac{x}{2} = 5x - 1$；③$x^2 - 4x = 3$；④$x + 2y = 0$。其中是一元一次方程的有②(只填序号)。

答案： ②

14. (★★) 已知关于$x的一元一次方程\frac{1}{2024}x + 3 = 2x + b的解为x = 2$,那么关于$y的一元一次方程\frac{1}{2024}(y + 1) + 3 = 2(y + 1) + b$的解为$y=1$。

答案： $y=1$

15. (★) 下列等式变形：①若$a = b$,则$a + x = b + x$；②若$ax = -ay$,则$x = -y$；③若$4a = 3b$,则$4a - 3b = 1$；④若$\frac{a}{b} = \frac{3}{4}$,则$4a = 3b$；⑤若$\frac{2x}{m} = \frac{3y}{m}$,则$2x = 3y$。其中一定正确的是①④⑤(只填序号)。

答案： ①④⑤

16. (★★) 已知关于$x的方程2(x + 1) - m = -\frac{m - 2}{2}的解比方程5(x - 1) - 1 = 4(x - 1) + 1的解大2$。
(1) 求第二个方程的解；
(2) 求$m$的值。

答案：
(1)$5(x-1)-1=4(x-1)+1$去括号,得$5x-5-1=4x-4+1$.移项,得$5x-4x=-4+1+1+5$.合并同类项,得$x=3$.
(2)由题意,得方程$2(x+1)-m=-\dfrac{m-2}{2}$的解为$x=3+2=5$.把$x=5$代入方程$2(x+1)-m=-\dfrac{m-2}{2}$,得$2×(5+1)-m=-\dfrac{m-2}{2}$,即$12-m=-\dfrac{m-2}{2}$,解得$m=22$.所以m的值为22.

17. (★★) 解关于$x的方程a(x + 1) = b(x - 1)$。

答案： 去括号,得$ax+a=bx-b$.移项,得$ax-bx=-a-b$.合并同类项,得$(a-b)x=-a-b$.当$a≠b$时,方程的解为$x=\dfrac{-a-b}{a-b}$.当$a=b$且$-a-b=0$时,方程的解有无数多个;当$a=b$且$-a-b≠0$时,方程无解.

18. (★★) 【定义】
若关于$x的一元一次方程ax = b的解满足x = b + a$,则称该方程为“友好方程”。例如：方程$2x = -4的解为x = -2$,且$-2 = -4 + 2$,则方程$2x = -4$为“友好方程”。
【运用】
(1) ①$-2x = \frac{4}{3}$,②$\frac{1}{2}x = -1$两个方程中为“友好方程”的是①(填写序号)；
(2) 若关于$x的一元一次方程3x = b$是“友好方程”,求$b$的值；
方程$3x=b$的解为$x=\dfrac{b}{3}$.所以$\dfrac{b}{3}=b+3$.解得$b=-\dfrac{9}{2}$，所以$b$的值为$-\dfrac{9}{2}$.
(3) 若关于$x的一元一次方程-2x = mn + n$($n \neq 0$)是“友好方程”,且它的解为$x = n$,则$m = $-3,$n = $$-\dfrac{2}{3}$。

答案：
(1)① 提示:①$-2x=\dfrac{4}{3}$,解得$x=-\dfrac{2}{3}$,且$-\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{3}+(-2)$,是"友好方程".②$\dfrac{1}{2}x=-1$,解得$x=-2$,而$-2≠-1+\dfrac{1}{2}$,不是"友好方程".
(2)方程$3x=b$的解为$x=\dfrac{b}{3}$.所以$\dfrac{b}{3}=b+3$.解得$b=-\dfrac{9}{2}$,所以b的值为$-\dfrac{9}{2}$.
(3)-3 $-\dfrac{2}{3}$ 提示:因为关于x的一元一次方程$-2x=mn+n(n≠0)$是"友好方程",且它的解是$x=n$,所以$-2n=mn+n$,且$mn+n-2=n$,解得$m=-3$,$n=-\dfrac{2}{3}$.