《2025年同步练习册大象出版社七年级数学上册人教版》

10. (★★★)综合与实践
(1)【用数学的眼光观察】在图①中,三种不同大小的正方形与长方形拼成了一个如图②所示的正方形.
①请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积：
方法 1：a²+b²；
方法 2：(a+b)²-2ab.
②根据阴影部分面积的关系,可以得到等式：a²+b²=(a+b)²-2ab.

根据(1)中的等量关系,解决下列问题：
(2)【用数学的思维思考】已知 $ m + n = 2 $,$ mn = -6 $,求 $ m^{2} + n^{2} $ 的值；
由(1),得m²+n²=(m+n)²-2mn=2²-2×(-6)=16.
(3)【用数学的语言表达】已知 $ (x - 2023) \cdot (x - 2025) = 16 $,求 $ (x - 2023)^{2} + (x - 2025)^{2} $ 的值.
设x-2023=m,2025-x=n,则m+n=x-2023+2025-x=2,mn=(x-2023)(2025-x)=-(x-2023)(x-2025)=-16.由(1),得m²+n²=(m+n)²-2mn=2²-2×(-16)=36.所以(x-2023)²+(x-2025)²=36.

答案：
(1)①a²+b² (a+b)²-2ab ②a²+b²=(a+b)²-2ab
(2)由
(1),得m²+n²=(m+n)²-2mn=2²-2×(-6)=16.
(3)设x-2023=m,2025-x=n,
则m+n=x-2023+2025-x=2,
mn=(x-2023)(2025-x)=-(x-2023)(x-2025)=-16.
由
(1),得m²+n²=(m+n)²-2mn=2²-2×(-16)=36.
所以(x-2023)²+(x-2025)²=36.