《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版徐州专版》

9. 已知$a$,$b满足|b - 2|+\sqrt{3a+9}= 0$,则关于$x的方程(1 - a)x^{2}+bx= 2 - 4a$的解是$x₁=\frac{-1+\sqrt{57}}{4},x₂=\frac{-1-\sqrt{57}}{4}$.

答案： $x₁=\frac{-1+\sqrt{57}}{4},x₂=\frac{-1-\sqrt{57}}{4}$

10. (2024·常熟模拟)我们规定：若$a= (x_{1},y_{1})$,$b= (x_{2},y_{2})$,则$a\cdot b= x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}$. 例如,若$a= (1,3)$,$b= (2,4)$,则$a\cdot b= 1×2+3×4= 2+12= 14$. 已知$a= (x - 1,x + 1)$,$b= (x + 3,4)$,$a\cdot b= 7$,且$-2\leq x\leq3$,则$x$的值为$-3+\sqrt{15}$.

答案： $-3+\sqrt{15}$

11. 用公式法解下列方程：
(1)$x(x - 3)= 3 - x$；
(2)$4x^{2}= 2x+1$；
(3)$x^{2}+\sqrt{5}x-\frac{1}{4}= 0$；
(4)$x^{2}+2\sqrt{3}x-2= 0$；
(5)$(3x - 1)(x + 2)= 11x - 4$；
(6)$1 - t^{2}= 2t(2t - 1)$.

答案： $(1)$ 解方程$x(x - 3)= 3 - x$
解：
将方程化为一般形式：
$x(x - 3)+(x - 3)=0$，即$x^{2}-3x+x - 3 = 0$，$x^{2}-2x - 3 = 0$。
其中$a = 1$，$b = -2$，$c = -3$。
判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4×1×(-3)=4 + 12 = 16$。
由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$可得：
$x=\frac{2\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{2\pm4}{2}$。
$x_{1}=\frac{2 + 4}{2}=3$，$x_{2}=\frac{2-4}{2}=-1$。
$(2)$ 解方程$4x^{2}=2x + 1$
解：
化为一般形式：$4x^{2}-2x - 1 = 0$。
其中$a = 4$，$b = -2$，$c = -1$。
判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4×4×(-1)=4 + 16 = 20$。
由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$可得：
$x=\frac{2\pm\sqrt{20}}{2×4}=\frac{2\pm2\sqrt{5}}{8}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{4}$。
即$x_{1}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$，$x_{2}=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$。
$(3)$ 解方程$x^{2}+\sqrt{5}x-\frac{1}{4}=0$
解：
其中$a = 1$，$b = \sqrt{5}$，$c = -\frac{1}{4}$。
判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(\sqrt{5})^{2}-4×1×(-\frac{1}{4})=5 + 1 = 6$。
由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$可得：
$x=\frac{-\sqrt{5}\pm\sqrt{6}}{2}$。
即$x_{1}=\frac{-\sqrt{5}+\sqrt{6}}{2}$，$x_{2}=\frac{-\sqrt{5}-\sqrt{6}}{2}$。
$(4)$ 解方程$x^{2}+2\sqrt{3}x-2=0$
解：
其中$a = 1$，$b = 2\sqrt{3}$，$c = -2$。
判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(2\sqrt{3})^{2}-4×1×(-2)=12 + 8 = 20$。
由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$可得：
$x=\frac{-2\sqrt{3}\pm\sqrt{20}}{2}=\frac{-2\sqrt{3}\pm2\sqrt{5}}{2}=-\sqrt{3}\pm\sqrt{5}$。
即$x_{1}=-\sqrt{3}+\sqrt{5}$，$x_{2}=-\sqrt{3}-\sqrt{5}$。
$(5)$ 解方程$(3x - 1)(x + 2)=11x - 4$
解：
展开并化为一般形式：
$3x^{2}+6x - x - 2 = 11x - 4$，$3x^{2}-6x + 2 = 0$。
其中$a = 3$，$b = -6$，$c = 2$。
判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4×3×2=36 - 24 = 12$。
由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$可得：
$x=\frac{6\pm\sqrt{12}}{2×3}=\frac{6\pm2\sqrt{3}}{6}=\frac{3\pm\sqrt{3}}{3}=1\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$。
即$x_{1}=1+\frac{\sqrt{3}}{3}$，$x_{2}=1-\frac{\sqrt{3}}{3}$。
$(6)$ 解方程$1 - t^{2}=2t(2t - 1)$
解：
展开并化为一般形式：
$1 - t^{2}=4t^{2}-2t$，$5t^{2}-2t - 1 = 0$。
其中$a = 5$，$b = -2$，$c = -1$。
判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4×5×(-1)=4 + 20 = 24$。
由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$可得：
$t=\frac{2\pm\sqrt{24}}{2×5}=\frac{2\pm2\sqrt{6}}{10}=\frac{1\pm\sqrt{6}}{5}$。
即$t_{1}=\frac{1+\sqrt{6}}{5}$，$t_{2}=\frac{1-\sqrt{6}}{5}$。

12. 已知代数式$3m^{2}+4m - 3的值与代数式-m^{2}+m - 30$的值互为相反数,求$m$的值.

答案： 解：因为代数式$3m^{2}+4m - 3$的值与代数式$-m^{2}+m - 30$的值互为相反数，所以$(3m^{2}+4m - 3)+(-m^{2}+m - 30)=0$。
去括号得：$3m^{2}+4m - 3 - m^{2}+m - 30 = 0$。
合并同类项得：$2m^{2}+5m - 33 = 0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（$a = 2$，$b = 5$，$c = - 33$），其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$，将$a = 2$，$b = 5$，$c = - 33$代入可得：
$\Delta = 5^{2}-4×2×(-33)$
$=25 + 264$
$=289$
由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$可得：
$m=\frac{-5\pm\sqrt{289}}{2×2}=\frac{-5\pm17}{4}$
当$m=\frac{-5 + 17}{4}$时，$m=\frac{12}{4}=3$；
当$m=\frac{-5 - 17}{4}$时，$m=\frac{-22}{4}=-\frac{11}{2}$。
综上，$m$的值为$3$或$-\frac{11}{2}$。

13. 已知$a$,$b$,$c$,$d$为实数,现规定一种新运算：$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} = ad - bc$. 当$\begin{vmatrix}2x + 1&-5\\-1&x + 2\end{vmatrix} = -4$时,求$x$的值.

答案： 解：根据新运算规则$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad - bc$，对于$\begin{vmatrix}2x + 1&-5\\-1&x + 2\end{vmatrix}$，可得：
$(2x + 1)(x + 2)-(-5)×(-1)=-4$
展开括号：
$2x× x+2x×2 + 1× x+1×2-5=-4$
即$2x^{2}+4x+x + 2 - 5=-4$
合并同类项：
$2x^{2}+(4x+x)+(2 - 5)+4 = 0$
$2x^{2}+5x+1 = 0$
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（$a = 2$，$b = 5$，$c = 1$），根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac$：
$\Delta = 5^{2}-4×2×1=25 - 8 = 17$
则$x=\frac{-5\pm\sqrt{17}}{2×2}=\frac{-5\pm\sqrt{17}}{4}$。
所以$x$的值为$\frac{-5 + \sqrt{17}}{4}$或$\frac{-5 - \sqrt{17}}{4}$。

14. 已知关于$x的一元二次方程(m - 1)x^{2}-2mx+m + 1= 0$.
(1)求该方程的根；
(2)当$m$为何整数时,该方程的两个根都为正整数？

答案： 1. （1）
解：对于一元二次方程$(m - 1)x^{2}-2mx+m + 1 = 0$，其中$a=m - 1$，$b=-2m$，$c=m + 1$。
先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-2m)^{2}-4(m - 1)(m + 1)$
根据平方差公式$(a - b)(a + b)=a^{2}-b^{2}$，则$\Delta = 4m^{2}-4(m^{2}-1)$。
展开得$\Delta = 4m^{2}-4m^{2}+4=4$。
再根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，可得$x=\frac{2m\pm\sqrt{4}}{2(m - 1)}=\frac{2m\pm2}{2(m - 1)}$。
当取$+$时，$x_{1}=\frac{2m + 2}{2(m - 1)}=\frac{2(m + 1)}{2(m - 1)}=\frac{m + 1}{m - 1}=1+\frac{2}{m - 1}$；
当取$-$时，$x_{2}=\frac{2m-2}{2(m - 1)} = 1$。
2. （2）
由（1）知$x_{1}=1+\frac{2}{m - 1}$，$x_{2}=1$。
因为方程的两个根都为正整数，$x_{2}=1$是正整数，对于$x_{1}=1+\frac{2}{m - 1}$为正整数，则$m−1$是$2$的正因数。
令$m - 1 = 1$或$m - 1 = 2$。
当$m - 1 = 1$时，解得$m = 2$，此时$x_{1}=1+\frac{2}{1}=3$，$x_{2}=1$；
当$m - 1 = 2$时，解得$m = 3$，此时$x_{1}=1+\frac{2}{2}=2$，$x_{2}=1$。
所以（1）$x_{1}=1+\frac{2}{m - 1}$，$x_{2}=1$；（2）$m = 2$或$m = 3$。