《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版徐州专版》

5. (惠山区期末)今年超市以每件25元的进价购进一批商品,当商品的售价为每件40元时,三月份销售256件,四、五月份该商品十分畅销,销售量持续上涨,在售价不变的基础上,五月份的销售量达到400件.
(1)求四、五月份这两个月销售量的月平均增长率;
(2)经市场预测,六月份的销售量将与五月份持平,现商场为了减少库存,采用降价促销方式.经调查发现:该商品每降价1元,月销售量增加5件.当商品降价多少元时,该超市六月份销售此商品可获利4250元?

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的应用，具体涉及月平均增长率的计算和降价促销问题的建模。
(1) 对于月平均增长率的计算，我们需要使用公式：$A = P(1 + r)^n$，其中$A$是未来的数量，$P$是初始数量，$r$是月平均增长率，$n$是期数（月份数）。根据题意，我们有$P = 256$，$A = 400$，$n = 2$（因为是四、五月份两个月）。代入公式，我们得到一个一元二次方程，解这个方程即可得到月平均增长率。
(2) 对于降价促销问题，我们需要先设定降价$x$元，然后根据题意建立销售量与降价金额的关系，进而建立获利与降价金额的关系。题目中给出每降价1元，销售量增加5件，所以销售量可以表示为$400 + 5x$。每件商品的利润是售价减去进价，即$40 - x - 25$。总利润则是单件利润乘以销售量，即$(40 - x - 25)(400 + 5x)$。根据题意，这个总利润应该等于4250元，所以我们得到一个一元二次方程，解这个方程即可得到降价金额。
【答案】：
(1)解：设四、五月份的月平均增长率为$x$，
根据题意，得$256(1 + x)^{2} = 400$，
解得$x_{1} = 0.25$，$x_{2} = - 2.25$（舍去）．
答：四、五月份的月平均增长率为$25\%$。
(2)解：设商品降价$x$元，
根据题意，得$(40 - x - 25)(400 + 5x) = 4250$，
解得$x_{1} = 5$，$x_{2} = - 70$（舍去）．
答：当商品降价$5$元时，该超市六月份销售此商品可获利$4250$元。

6. (2024·辽宁)某商场出售一种商品,经市场调查发现,日销售量y(件)与每件售价x(元)之间满足一次函数关系,部分数据如下表所示:

(1)求y与x之间的函数关系式;(不要求写出自变量x的取值范围)
(2)该商品日销售额能否达到2600元?如果能,求出每件的售价;如果不能,说明理由.

答案： 【解析】：
(1)要求出日销售量$y$与每件售价$x$之间的函数关系式，首先需要确定这是一个一次函数关系，即$y = kx + b$的形式。可以通过给出的数据点，利用两点式求出斜率$k$，再选择一个点代入求出截距$b$，从而得到函数关系式。
(2)要判断日销售额能否达到2600元，首先需要根据销售额的计算公式：销售额 = 售价$×$销售量，即$x × y$。由于$y$是$x$的函数，所以可以将$y$的表达式代入，得到一个关于$x$的一元二次方程。然后解这个方程，看是否有实数解，从而判断日销售额是否能达到2600元。
【答案】：
(1)解：设日销售量$y$与每件售价$x$之间的函数关系式为$y = kx + b$。
根据给出的数据点$(45,55)$和$(55,45)$，可以列出方程组：
$\begin{cases}45k + b = 55, \\55k + b = 45.\end{cases}$解这个方程组，得到：
$\begin{cases}k = -1, \\b = 100.\end{cases}$所以，日销售量$y$与每件售价$x$之间的函数关系式为$y = -x + 100$。
(2)解：设日销售额为$W$元，则
$W = x × y = x × (-x + 100) = -x^2 + 100x$，
令$W = 2600$，得到方程：
$-x^2 + 100x = 2600$，
化简得：
$x^2 - 100x + 2600 = 0$，
接下来，我们计算判别式$\Delta$：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-100)^2 - 4 × 1 × 2600 = 10000 - 10400 = -400$，
由于$\Delta ＜ 0$，根据一元二次方程的根的判别法则，方程$x^2 - 100x + 2600 = 0$无实数根。
所以，该商品的日销售额不能达到2600元。

7. (2024·海安期末)某商场以每件20元的价格购进一种商品,经市场调查发现:该商品每天的销售量y(件)与每件售价x(元)之间满足一次函数关系,其图像如图所示.设该商场销售这种商品每天获利w(元).
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)求w与x之间的函数关系式;
(3)该商场规定这种商品每件售价不低于进价且不高于38元,商场销售这种商品要想每天获得600元的利润,每件商品的售价应定为多少元?

答案： 7.解:
(1)设y与x之间的函数关系式为$y=kx+b(k≠0)$.由题图知$\begin{cases}25k+b=70, \\35k+b=50,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-2, \\b=120.\end{cases}$故y与x之间的函数关系式为$y=-2x+120$.
(2)$\because y=-2x+120$,$\therefore w=(x-20)y=(x-20)(-2x+120)=-2x^{2}+160x-2400$.即w与x之间的函数关系式为$w=-2x^{2}+160x-2400$.
(3)根据题意,得$600=-2x^{2}+160x-2400$,整理,得$x^{2}-80x+1500=0$,解得$x_{1}=30$,$x_{2}=50$.$\because 20\leqslant x\leqslant 38$,$\therefore x=30$.答:每件商品的售价应定为30元.