《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版徐州专版》

1. 如图,AB是⊙O的弦,半径OC,OD分别交AB于点E,F,且OE= OF. 求证：AE= BF.

答案：
证明:如答图，过点O作OM⊥AB于点M,则AM=BM.
　　　　　　　　
　又
∵OE=OF,
∴EM=FM,
∴AM−EM=BM−FM,
　即AE=BF;

2. 如图,⊙O的半径为2,弦AB= 2√{3},点C在弦AB上,$AC= \frac { 1 } { 4 } A B,$求OC的长.

答案：
解:如答图，过点O作OH⊥AB于点H.
　　　　　　　　
∵OH⊥AB,
∴AH=BH=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$.
∵在Rt△BOH中,OB=2,BH=$\sqrt{3}$,
∴OH=$\sqrt{OB^2-BH^2}$=$\sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2}$=1.
∵AC=$\frac{1}{4}$AB=$\frac{1}{4}$×$2\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
∴CH=AH−AC=$\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
　在Rt△OHC中,OC=$\sqrt{OH^2+CH^2}$=$\sqrt{1^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$.

3. 如图,射线PG平分∠EPF,O为射线PG上一点,以点O为圆心,5为半径作⊙O,分别与∠EPF的两边相交于点A,B和点C,D,连接OA,且OA//PE.
(1)求证：AP= AO；
(2)若弦AB= 8,求OP的长.

答案：

(1)证明:
∵PG平分∠EPF,
∴∠DPO=∠APO.
∵OA//PE,
∴∠DPO=∠AOP,
∴∠APO=∠AOP,
∴AP=AO.
(2)解:如答图，过点O作OH⊥AB于点H,
　　　　　　　
　则AH=BH=$\frac{1}{2}$AB=4.
∵在Rt△AOH中,OA=5,AH=4,
∴OH=$\sqrt{5^2-4^2}$=3.
∵AP=AO=5,
∴PH=PA+AH=9.
　在Rt△POH中,OP=$\sqrt{3^2+9^2}$=$3\sqrt{10}$.

4. (徐州期中)如图,在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D两点.
(1)AC与BD相等吗? 为什么?
(2)若大圆、小圆的半径分别为13和7,AB= 24,求CD的长.

答案：
解:
(1)AC与BD相等.理由如下:
　如答图，过点O作OE⊥AB于点E;
∵OE⊥AB,OE过圆心O,
∴AE=BE,CE=DE,
∴AE−CE=BE−DE,即AC=BD.
　　　　　　　　
(2)连接OA,OC,如答图.
∵AB=24,AE=BE,
∴AE=12.
∵大圆的半径为13，
∴OA=13,
∴OE=$\sqrt{OA^2-AE^2}$=$\sqrt{13^2-12^2}$=5.
∵小圆的半径为7,
∴OC=7,
∴DE=CE=$\sqrt{7^2-5^2}$=$2\sqrt{6}$,
∴CD=2CE=$4\sqrt{6}$.