《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版徐州专版》

9. 如图,$Rt\triangle ABC的内切圆\odot O$与两直角边AB,BC分别相切于点D,E,过$\overgroup{DE}$上任一点P(不包括端点D,E)作$\odot O$的切线MN,与AB,BC分别交于点M,N. 若$\odot O$的半径为4cm,则$Rt\triangle MBN$的周长为8cm.

答案： 8cm

10. 如图,在$\triangle ABC$中,O为AC上一点,以点O为圆心,OC为半径作圆,与BC相切于点C,过点A作$AD\perp BO$交BO的延长线于点D,且$\angle AOD= \angle BAD$.
(1)若$\angle AOD= 60^{\circ}$,求$\angle CBD$的度数；
(2)求证：AB为$\odot O$的切线.

答案：

(1)解:
∵BC是⊙O的切线，C是切点，
∴OC⊥BC,即∠OCB=90°,
∴∠BOC+∠OBC=90°.
∵∠BOC=∠AOD=60°,
∴∠CBD=30°.
(2)证明:如答图，过点O作OE⊥AB于点E.

由题意可知∠CBD=∠OAD
∵AD⊥BO,
∴∠D=90°,即∠OAD+∠AOD=90°,∠ABD+∠BAD=90°.
∵∠AOD=∠BAD,
∴∠OAD=∠ABD,
∴∠ABD=∠CBD,即BD是∠ABC的平分线
∵OC⊥BC,OE⊥AB,
∴OC=OE.
∵OC是半径,
∴点O到AB的距离OE等于半径,
∴AB是⊙O的切线.

11. (2024·泉山区模拟)如图,AB是$\odot O$的直径,AD和BC分别切$\odot O$于A,B两点,CD与$\odot O$有公共点E,且$AD= DE$.
(1)求证：CD是$\odot O$的切线；
(2)若$AB= 12$,$BC= 4$,求AD的长.

答案：

(1)证明:如答图，连接OD,OE.
∵AD切⊙O于点A,AB是⊙O的直径,
∴∠DAB=90°.
∵AD=DE,OA=OE,OD=OD,
∴△ADO≌△EDO(SSS),
∴∠OED=∠OAD=90°,
∴CD是⊙O的切线.

(2)解:如答图，过点C作CH⊥AD于点H.
∵AB是⊙O的直径,AD和BC分别切⊙O于A,B两点,
∴∠DAB=∠ABC=∠CHA=90°,
∴四边形ABCH是矩形,
∴CH=AB=12,AH=BC=4.
∵CD是⊙O的切线,
∴AD=DE,CE=BC,
∴DH=AD−BC=AD−4,CD=AD+4.
∵CH²+DH²=CD²,
∴12²+(AD−4)²=(AD+4)²,解得AD=9.

12. (2024·天宁区模拟)辘轳(如图①)是从杠杆演变来的汲水工具,图②是从辘轳抽象出来的几何模型,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,O是AC边上一点,以OA为半径的$\odot O$与AB相交于点P,已知$CP= CB$.
(1)求证：直线CP是$\odot O$的切线；
(2)若$\angle B= 60^{\circ}$,$BC= 3\sqrt{3}$,求$\odot O$的半径.

答案：

(1)证明:如答图，连接OP.

∵OA=OP,
∴∠A=∠APO.
∵CP=CB,
∴∠B=∠BPC.
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°,
∴∠APO+∠BPC=90°,
∴∠OPC=180°−90°=90°,
∴OP⊥CP,
∴直线CP是⊙O的切线.
(2)解:
∵∠ACB=90°,∠B=60°,BC=3$\sqrt{3}$,
∴AC=3$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=9,PC=3$\sqrt{3}$.
设⊙O的半径为r,在Rt△OPC中,OP²+PC²=OC²,即r²+(3$\sqrt{3}$)²=(9−r)²,解得r=3.
∴⊙O的半径为3.