《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版徐州专版》

5. (江阴校级月考)如图,⊙O的直径AB⊥弦CD,垂足为E,AE= 2,CD= 8.
(1)求⊙O的半径；
(2)连接BC,作OF⊥BC于点F,求OF的长.

答案： 1. （1）求$\odot O$的半径：
解：连接$OC$。
因为$AB\perp CD$，$AB$是直径，根据垂径定理$CE = DE=\frac{1}{2}CD$。
已知$CD = 8$，所以$CE=\frac{1}{2}×8 = 4$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OC=r$，$OE=r - 2$。
在$Rt\triangle OCE$中，根据勾股定理$OC^{2}=OE^{2}+CE^{2}$，即$r^{2}=(r - 2)^{2}+4^{2}$。
展开$(r - 2)^{2}+4^{2}$得$r^{2}=r^{2}-4r + 4+16$。
移项可得$r^{2}-r^{2}+4r=4 + 16$。
合并同类项得$4r=20$，解得$r = 5$。
2. （2）求$OF$的长：
解：在$Rt\triangle BCE$中，$BE=AB - AE=2r-2=2×5 - 2 = 8$，$CE = 4$。
根据勾股定理$BC=\sqrt{CE^{2}+BE^{2}}=\sqrt{4^{2}+8^{2}}=\sqrt{16 + 64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$。
因为$OF\perp BC$，根据垂径定理$CF=\frac{1}{2}BC$（垂径定理：垂直于弦的直径平分弦）。
又因为$\angle OFB=\angle CEB = 90^{\circ}$，$\angle B=\angle B$，所以$\triangle BOF\sim\triangle BCE$（两角分别相等的两个三角形相似）。
则$\frac{OF}{CE}=\frac{BO}{BC}$。
已知$BO = r = 5$，$CE = 4$，$BC = 4\sqrt{5}$。
所以$OF=\frac{BO\cdot CE}{BC}=\frac{5×4}{4\sqrt{5}}=\sqrt{5}$。
综上，（1）$\odot O$的半径为$5$；（2）$OF$的长为$\sqrt{5}$。

6. 如图,AD为⊙O的直径,AD= 8 cm,∠DAC= ∠ABC,则AC的长为 (A)
A.$4\sqrt{2} cm$
B.$2\sqrt{2} cm$
C.4 cm
D.$3\sqrt{3} cm$

答案： A

7. 如图,AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,且AB⊥OC,P为圆上一动点,M为AP的中点,连接CM. 若⊙O的半径为2,则CM长的最大值是$\sqrt{5}+1$.

答案： $\sqrt{5}+1$

8. 如图,在△ABC中,CA= CB,以BC为直径的半圆O与AB交于点D,与AC交于点E,连接DE.
求证：(1)D为AB的中点；
(2)AD= DE.

答案：
证明:
(1)连接CD,如答图.
　　　　　　　
∵BC为直径，
∴∠BDC=90°,
∴CD⊥AB.
∵CA=CB,
∴AD=BD,即D为AB的中点.
(2)
∵四边形BCED为⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠DEC=180°.
∵∠AED+∠DEC=180°,
∴∠AED=∠B.
∵CA=CB,
∴∠A=∠B,
∴∠A=∠AED,
∴AD=DE;