《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版徐州专版》

2.请你运用数学知识,根据素材,帮果农解决问题.


(1)设脆蜜金柑产量的年平均增长率为$x$,依题意列方程为$13(1+x)^{2}=15.6$;
(2)现有长$80cm$、宽$75cm$的长方形纸板,在四角各裁掉一个正方形(如图①),折成无盖长方体纸盒(如图②).为了放下适当数量的脆蜜金柑,需要设计底面积为$3300cm^{2}$的纸盒,计算此时纸盒的高;

解：设纸盒的高为$x\ {cm}$，则纸盒底面的长为$(80-2x)\ {cm}$，宽为$(75-2x)\ {cm}$。
依题意，得$(80-2x)(75-2x)=3300$
整理，得$x^{2}-77.5x+675=0$
解得$x_{1}=10$，$x_{2}=67.5$
$\because$当$x=67.5$时，$80-2x=80-135=-55＜0$，不合题意，舍去
$\therefore x=10$
答：此时纸盒的高为$10\ {cm}$。
(3)为了增加包装盒的种类,打算将(2)中的纸板按照图③的方式裁剪,得到底面为正六边形的无盖纸盒(如图④),求出此时纸盒的高.(图中实线表示剪切线,虚线表示折痕.纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计)


解：设纸盒的高为$h\ {cm}$，正六边形的边长为$a\ {cm}$。
在正六边形中，连接中心与各个顶点，可将正六边形分成六个边长为$a$的正三角形，每个内角为$120^\circ$。
由图③可知，长方形的长等于正六边形的对边距离加上$2×$（裁剪的直角三角形的直角边，该直角边与正六边形边构成$30^\circ$角）。
正六边形的对边距离为$2×\left(a×\sin60^\circ\right)=\sqrt{3}a$。
裁剪的直角三角形中，与正六边形边相邻的直角边为$h×\tan30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3}h$。
则有$\sqrt{3}a+2×\frac{\sqrt{3}}{3}h=80$ ①
长方形的宽等于正六边形的对边距离加上$2×$（裁剪的直角三角形的另一直角边，该直角边等于高$h$）。
即$\sqrt{3}a+2h=75$ ②
由①②组成方程组，解得$h=\frac{15(\sqrt{3}-1)}{2}$
答：此时纸盒的高为$\frac{15(\sqrt{3}-1)}{2}\ {cm}$。

答案：
(1)$13(1+x)^{2}=15.6$
(2)解：设纸盒的高为$x\ {cm}$，则纸盒底面的长为$(80-2x)\ {cm}$，宽为$(75-2x)\ {cm}$。
依题意，得$(80-2x)(75-2x)=3300$
整理，得$x^{2}-77.5x+675=0$
解得$x_{1}=10$，$x_{2}=67.5$
$\because$当$x=67.5$时，$80-2x=80-135=-55＜0$，不合题意，舍去
$\therefore x=10$
答：此时纸盒的高为$10\ {cm}$。
(3)解：设纸盒的高为$h\ {cm}$，正六边形的边长为$a\ {cm}$。
在正六边形中，连接中心与各个顶点，可将正六边形分成六个边长为$a$的正三角形，每个内角为$120^\circ$。
由图③可知，长方形的长等于正六边形的对边距离加上$2×$（裁剪的直角三角形的直角边，该直角边与正六边形边构成$30^\circ$角）。
正六边形的对边距离为$2×\left(a×\sin60^\circ\right)=\sqrt{3}a$。
裁剪的直角三角形中，与正六边形边相邻的直角边为$h×\tan30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3}h$。
则有$\sqrt{3}a+2×\frac{\sqrt{3}}{3}h=80$ ①
长方形的宽等于正六边形的对边距离加上$2×$（裁剪的直角三角形的另一直角边，该直角边等于高$h$）。
即$\sqrt{3}a+2h=75$ ②
由①②组成方程组，解得$h=\frac{15(\sqrt{3}-1)}{2}$
答：此时纸盒的高为$\frac{15(\sqrt{3}-1)}{2}\ {cm}$。